Вращающийся шар в отверстии

Вся начальная кинетическая энергия вращения уходит в работу трения, которая пропорциональна силе трения, средней скорости точек касания и времени. Найдите, как эти величины зависят от радиуса отверстия.

\(t_2=\dfrac{r_1\sqrt{R^2-r_2^2}}{r_2\sqrt{R^2-r_1^2}}\,t_1\approx21\text{ с}\).

9-2. При вращении кинетическая энергия шара вследствие работы сил трения перейдет в тепловую. Работа сил трения может быть рассчитана по формуле

\[A = F V_{\text{ср.}} t,\tag{1}\]

где \(F\) - сумма модулей сил трения, действующих на отдельные участки линии соприкосновения шара и плиты; \(V_{\text{ср.}} = \dfrac{\omega_0 r}{2}\) - средняя скорость движения точек соприкосновения, \(\omega_0\) - начальная угловая скорость вращения (так как все силы действующие на шарик постоянны, то его движение будет равнозамедленным, следовательно средняя скорость до остановки равна половине начальной); \(t\) - время движения. Величину \(F\) найдем по закону Кулона-Амонтона

\[F = \mu N,\tag{2}\]

где \(N\) - суммарная сила нормальной реакции плиты, действующей на шарик. Так как центр масс шарика покоится, сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей сил реакции

\[mg = N \cos\alpha = N \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R},\tag{3}\]

откуда следует

\[N = mg \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}}.\tag{4}\]

Подставив выражения (2)-(4) в формулу (1), получим

\[A = \mu mg \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} \cdot \frac{\omega_0 r}{2} t.\tag{5}\]

Начальные скорости вращения шарика в обоих случаях равны, поэтому равны и его кинетические энергии, следовательно, равны и работы сил трения. Таким образом, из уравнения (5) следует соотношение

\[\frac{r_1 t_1}{\sqrt{R^2 - r_1^2}} = \frac{r_2 t_2}{\sqrt{R^2 - r_2^2}},\tag{6}\]

из которого находим окончательный ответ задачи

\[t _ { 2 } = \frac { r _ { 1 } \sqrt { R ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 2 } } } { r _ { 2 } \sqrt { R ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } } } t _ { 1 } \approx 21\ \text{с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.