Шарик и наклонная плита

При наклоне плиты \(45^\circ\) скорость после упругого удара горизонтальна. Выразите дальность \(S\) через высоту \(H\) точки \(A\) и высоту плиты \(h_0\).

Время движения \(t\approx1{,}35\text{ с}\); \(S\) максимальна при \(h_0=H/2=2{,}5\text{ м}\), при этом \(S_{\max}=H=5{,}0\text{ м}\).

9-1. Так как плита наклонена под углом \(45^\circ\) к горизонту, то после удара скорость шарика \(\vec{V}_1\) будет направлена горизонтально. Поэтому, движение шарика после удара описывается уравнениями

\[\begin{cases} S = V_1 t_2 \\ h = \frac{g t_2^2}{2} \end{cases}\tag{1}\]

где \(t_2\)- время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим

\[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}; \quad V_1 = S \sqrt{\frac{g}{2h}}.\tag{2}\]

Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки \(A\) до удара

\[t_1 = \frac{V_1}{g} = \frac{S}{\sqrt{2gh}}.\tag{3}\]

Полное время движения шарика рассчитаем по формуле

\[t = t_1 + t_2 = \frac{S}{\sqrt{2gh}} + \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 1{,}35 \text{с}.\tag{4}\]

Используя выражение (3), найдем высоту \(H\) точки \(A\) над уровнем земли

\[H = h + \frac{g t_1^2}{2} = h + \frac{S^2}{4h} = 5{,}0 \text{м}.\tag{5}\]

Найдем высоту \(h_0\), на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета \(S\) была максимальна. Пройдя в свободном падении путь \((H - h_0)\), шарик наберет скорость \(V_1 = \sqrt{2g(H - h_0)}\). Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние

\[S = V_1 \sqrt{\frac{2h_0}{g}} = 2 \sqrt{h_0 (H - h_0)}.\tag{6}\]

Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от \(h_0\), которая в данном случае достигает максимума при

\[\boxed{h_0 = \frac{H}{2} = 2{,}5\,\text{м}}, \text{ при этом } \boxed{S_{\text{max}} = H = 5{,}0\,\text{м}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.