Грузы на нити с кольцом

Обозначим через \(2l\) расстояние между гвоздями, \(\alpha\) — угол наклона нити к горизонту в некоторый момент времени, \(T\) — силу её натяжения, \(y_1\) и \(y_2\) — смещения грузов 1 и 2 от начального положения, \(v_1\) и \(v_2\) — их скорости, \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения (см. рис. 1.125).

Запишем уравнения кинематической связи для грузов 1 и 2: \[y_1 = l\operatorname{tg}\alpha,\quad y_2 = 2\left(\dfrac{l}{\cos\alpha} - l\right),\qquad(1)\] \[v_2 = 2v_1\sin\alpha,\qquad(2)\] \[\Delta\alpha = \Delta y_1\dfrac{\cos\alpha}{l/\cos\alpha},\quad \dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t} = \dfrac{v_1}{l}\cos^2\alpha,\] \[a_2 = \dfrac{\Delta v_2}{\Delta t} = 2v_1\cos\alpha\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t} + 2\sin\alpha\dfrac{\Delta v_1}{\Delta t} = 2\dfrac{v_1^2}{l}\cos^3\alpha + 2a_1\sin\alpha.\qquad(3)\] Запишем закон сохранения механической энергии для грузов: \[\dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2} - mgy_1 + mgy_2 = 0.\qquad(4)\] Продифференцируем это соотношение по времени и разделим на массу груза \(m\): \[v_1a_1 + v_2a_2 - g(v_1 - v_2) = 0.\qquad(5)\] Равновесие системы определяется соотношением \(2T_0\sin\alpha_0 = T_0\), то есть \(\sin\alpha_0 = 1/2\), поэтому \(v_{10} = v_{20}\), как следует из (2). При этом из соотношения (5) следует, что \(a_{10} = -a_{20}\), а из (4) — что \(v_{10}^2 = g(y_1 - y_2)\). Тогда из соотношения (3) получаем, что \(a_{10} = -\dfrac{v_{10}^2}{l}\cos^3\alpha_0\). Из (4) и (1) с учётом равенства \(v_{10} = v_{20}\) следует, что \(\dfrac{v_{10}^2}{l} = \dfrac{g}{\cos\alpha_0}(\sin\alpha_0 - 2 + 2\cos\alpha_0)\). Отсюда окончательно получаем: \[a_{10} = -a_{20} = -g(\sin\alpha_0 - 2 + 2\cos\alpha_0)\cos^2\alpha_0 = -\dfrac{3(2\sqrt{3} - 3)}{8}\,g \approx -0{,}174g.\] При этом оба вектора ускорений грузов направлены вверх! Необычность данной механической системы состоит в том, что в момент прохождения положения равновесия ускорения тел отличны от нуля.