Ряд брусков

Рассмотрим сначала случай \(n = 3\) (как станет видно из решения, условие \(n \geqslant 5\) не играет по существу никакой роли и внесено лишь в качестве «психологического усложнения»). Пусть \(u_1\) и \(v_2\) — скорости брусков \(m_1\) и \(m_2\) соответственно после их соударения между собой, тогда законы сохранения импульса и энергии имеют вид \[m_1v_1 = m_1u_1 + m_2v_2,\qquad \dfrac{m_1v_1^2}{2} = \dfrac{m_1u_1^2}{2} + \dfrac{m_2v_2^2}{2},\] откуда \[v_2 = \dfrac{2m_1v_1}{m_1 + m_2}.\] Аналогично рассматривая соударение брусков \(m_2\) и \(m_3\), находим \[v_3 = \dfrac{2m_2v_2}{m_2 + m_3} = \dfrac{4m_1m_2v_1}{(m_1 + m_2)(m_2 + m_3)}.\] Массы \(m_1\) и \(m_3\) крайних брусков и начальная скорость \(v_1\) первого бруска фиксированы, поэтому нужно найти максимум \(v_3\) как функции, зависящей только от \(m_2\). Для этого вычислим производную и приравняем её к нулю: \[\dfrac{dv_3}{dm_2} = 4m_1v_1\dfrac{(m_1 + m_2)(m_2 + m_3) - m_2(m_2 + m_3 + m_1 + m_2)}{(m_1 + m_2)^2(m_2 + m_3)^2} = 0,\] откуда \[\dfrac{m_3}{m_2} = \dfrac{m_2}{m_1}.\] Таким образом, для эффективной передачи скорости при соударениях нужно, чтобы массы соседних брусков отличались в одинаковое число раз.

Справедливость данного утверждения для произвольного \(n \geqslant 3\) докажем методом от противного. Допустим, что скорость \(v_n\) максимальна при наборе \(m_i\), в котором не все массы соседних брусков отличаются в одинаковое число раз. Тогда рассмотрим три бруска \((i-1;\ i;\ i+1)\), для которых \(m_{i+1}/m_i \neq m_i/m_{i-1}\). Из результата, полученного для \(n = 3\), следует, что скорость \(v_{i+1}\) возрастёт, если принять \(m_i = \sqrt{m_{i-1}m_{i+1}}\). Пропорционально \(v_{i+1}\) возрастёт и \(v_n\), так как скорость каждого следующего бруска прямо пропорциональна скорости предыдущего: \[v_{i+1} = \dfrac{2m_iv_i}{m_i + m_{i+1}}.\] Полученное противоречие (согласно предпосылке скорость \(v_n\) максимальна, но её удалось увеличить) является доказательством утверждения: \[\dfrac{m_{i+1}}{m_i} = \dfrac{m_i}{m_{i-1}} = k\quad\text{при}\quad 2 \leqslant i \leqslant n-1,\] то есть значения масс образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(k = \sqrt[n-1]{m_n/m_1}\). Таким образом, \[m_i = m_1\cdot k^{i-1} = m_1\left(\dfrac{m_n}{m_1}\right)^{\frac{i-1}{n-1}}.\] Для определения скорости \(v_n\) найдём «коэффициент передачи скорости»: \[\eta = \dfrac{v_{i+1}}{v_i} = \dfrac{2m_i}{m_i + m_{i+1}} = \dfrac{2}{1 + k},\] откуда \[v_n = v_1\cdot\eta^{n-1} = v_1\left(\dfrac{2}{1 + k}\right)^{n-1} = v_1\left(\dfrac{2}{1 + \sqrt[n-1]{m_n/m_1}}\right)^{n-1}.\qquad (127)\] В качестве дополнительной проверки ответа можно рассмотреть частный случай, когда \(m_1 = m_n\). Известно, что при упругом центральном ударе одинаковых тел они обмениваются скоростями, откуда \(v_n = v_1\). Именно этот результат и получается из общей формулы (127) после подстановки \(m_n = m_1\).