Удар по пружинной паре

Удар короткий: пружина за его время не успевает сжаться, поэтому сначала это обычное упругое столкновение двух шаров. Затем левый шарик пары колеблется относительно центра масс пары, а тот движется равномерно. Второй удар возможен, если налетевший шар догонит левый шарик в тот момент, когда тот «отстаёт» от центра масс.

\(\gamma\lesssim0{,}22\) (точнее, \(\gamma\le-\min\limits_{\tau>0}\dfrac{\sin\tau}{\tau}\approx0{,}217\)).

Что происходит. Удар длится очень короткое время, и пружина за него не успевает деформироваться: шар \(M\) взаимодействует только с левым шариком \(m_1\). Потом пара \(m_1\), \(m_2\) свободно летит и колеблется на пружине, а шар \(M\) едет равномерно. Второй удар произойдёт, если \(M\) догонит \(m_1\). Главная идея: движение пары — равномерный снос центра масс плюс колебание относительно него.

Обозначения. \(v\) — скорость \(M\) до удара; \(V\) и \(u\) — скорости \(M\) и \(m_1\) сразу после удара (\(m_2\) ещё покоится); \(k\) — жёсткость пружины, \(\omega\) — частота колебаний пары; ось \(x\) направлена вдоль движения, начало — общая точка шаров \(M\) и \(m_1\) в момент удара (\(t=0\)).

1. Удар. Система «\(M\) + \(m_1\)» за время удара замкнута по горизонтали (пружина не работает, \(m_2\) не участвует). Закон сохранения импульса системы \(M+m_1\) и закон сохранения механической энергии (удар абсолютно упругий): \[Mv=MV+mu,\qquad \frac{Mv^2}{2}=\frac{MV^2}{2}+\frac{mu^2}{2}.\] Перепишем: \(M(v-V)=mu\) и \(M(v-V)(v+V)=mu^2\). Разделив второе на первое, получим \(v+V=u\), откуда \[u=\frac{2v}{1+\gamma},\qquad V=\frac{1-\gamma}{1+\gamma}\,v.\] При \(\gamma\ge1\) шар \(M\) после удара не движется вперёд (\(V\le0\)), а пара уходит вправо: нагнать её он не сможет. Значит, интересует только \(\gamma<1\).

2. Движение пары после удара. Пружина — внутренняя сила пары, внешних горизонтальных сил нет, поэтому центр масс пары движется равномерно со скоростью \(u/2\) (суммарный импульс \(mu\) приходится на массу \(2m\)). Относительно центра масс шарики колеблются на пружине с частотой \(\omega=\sqrt{2k/m}\) (приведённая масса \(m/2\)). В момент \(t=0\) пружина не деформирована, а скорость \(m_1\) относительно центра масс равна \(u/2\). Поэтому смещение \(m_1\) от центра масс равно \(\dfrac{u}{2\omega}\sin\omega t\), и \[x_1(t)=\frac u2\,t+\frac{u}{2\omega}\sin\omega t,\qquad v_1(t)=\frac u2\,(1+\cos\omega t)\ge0 .\] Шарик \(m_1\) ни разу не движется назад, но периодически почти останавливается.

3. Условие второго удара. Шар \(M\) летит равномерно: \(X(t)=Vt\). Он догонит \(m_1\), если разность координат обратится в нуль при некотором \(t>0\). С учётом \(u/2=\dfrac{v}{1+\gamma}\) и \(u/2-V=\dfrac{\gamma v}{1+\gamma}\): \[x_1-X=\Bigl(\frac u2-V\Bigr)t+\frac{u}{2\omega}\sin\omega t=\frac{v}{(1+\gamma)\,\omega}\,\bigl(\gamma\tau+\sin\tau\bigr),\qquad \tau=\omega t .\] Пока \(s(\tau)=\gamma\tau+\sin\tau>0\), шар \(M\) позади \(m_1\). Второй удар — первый нуль функции \(s\) при \(\tau>0\): \[\gamma=-\frac{\sin\tau}{\tau}.\]

4. Предельное \(\gamma\). Функция \(-\sin\tau/\tau\) при \(\tau>0\) наибольшая, когда \(\dfrac{d}{d\tau}\dfrac{\sin\tau}{\tau}=0\), то есть \(\tan\tau=\tau\). Первый подходящий корень \(\tau_*\approx4{,}49\), и \(-\dfrac{\sin\tau_*}{\tau_*}\approx0{,}217\). При \(\gamma<0{,}217\) кривая \(s(\tau)\) пересекает ось (второй удар, на рисунке — \(\gamma=0{,}1\) при \(\tau\approx3{,}5\)); при \(\gamma=0{,}217\) она только касается оси; при \(\gamma>0{,}217\) (чёрная и синяя кривые) \(s>0\) всегда — \(M\) отстаёт навсегда.

Обратите внимание: скорость \(m_1\) в среднем (\(u/2\)) больше скорости \(M\) (\(V\)) при любом \(\gamma>0\), и всё же \(M\) может догнать: \(m_1\) периодически почти останавливается, и \(M\) нагоняет её. Для малого \(\gamma\) разность средних скоростей \(\gamma v/(1+\gamma)\) мала и колебание легко «возвращает» \(m_1\) к \(M\).

Ответ. В буквах: удар повторится при \(\gamma\le\gamma_*\), где \(\gamma_*=-\min\limits_{\tau>0}\dfrac{\sin\tau}{\tau}\) (корень \(\tan\tau=\tau\)). В числах: \(\gamma\lesssim0{,}22\), то есть \(M\gtrsim4{,}6\,m\).

Проверка. При \(\gamma\to0\) (\(M\gg m\)) \(V\to v\), \(u\to2v\), а средняя скорость пары \(u/2\to v\) совпадает с \(V\): сближение определяется только колебанием, и удар повторяется. При \(\gamma=1\) шар \(M\) останавливается, \(u=v\), пара уходит, повторного удара нет. Прямой численный счёт движения трёх тел (шаг \(10^{-4}\)) даёт второй удар при \(\gamma=0{,}21\) и не даёт при \(\gamma=0{,}22\), в согласии с \(0{,}217\). Приближённость ответа — от допущения, что удар мгновенный.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.