Тороид с ферритом

Если бы у первичной катушки не было активного сопротивления, на вторичной было бы ровно 200 В. Недобор в 1 В показывает, что у обмотки есть сопротивление \(r\). Напряжения на \(r\) и на индуктивности сдвинуты по фазе на \(90^\circ\); индуктивность пропорциональна \(\mu\).

\(U_2'\approx19{,}8\) В (порядка 20 В).

Что происходит. Переменное напряжение сети подано на первичную обмотку: это индуктивность \(L\) и последовательно включённое активное сопротивление провода \(r\). Потока рассеяния нет, поэтому через все витки обеих обмоток проходит один и тот же поток, и ЭДС одного витка одна и та же. Разомкнутая вторичная обмотка тока не несёт, её напряжение — это ЭДС в \(n_2\) витках; тот же поток создаёт на индуктивности первичной обмотки напряжение \(U_L\) в \(n_1\) витках. Значит, \(U_2/U_L=n_2/n_1=2\). Недобор в 1 В (вместо 200 В — 199 В) объясняется тем, что часть \(U_1\) падает на \(r\). При слабом сердечнике ток холостого хода вырастет, и доля напряжения на \(r\) станет большой.

Обозначения. \(U_r\) и \(U_L\) — напряжения на сопротивлении \(r\) и на индуктивности первичной обмотки (действующие значения), \(I\) — ток первичной обмотки, \(\omega\) — частота сети, \(L'\) — индуктивность с новым сердечником.

1. Напряжение на индуктивности. Вторичная обмотка разомкнута и рассеяния нет, поэтому \[U_L=U_2\,\frac{n_1}{n_2}=199{,}0\cdot\frac12=99{,}5\text{ В}.\]

2. Фазы. В цепи \(r\) и \(L\) последовательно напряжение на \(r\) совпадает по фазе с током, а на индуктивности опережает его на \(90^\circ\). Поэтому напряжения складываются векторно (прямоугольный треугольник), а не арифметически: \[U_1^2=U_r^2+U_L^2\ \Rightarrow\ U_r=\sqrt{100{,}0^2-99{,}5^2}\approx9{,}99\text{ В}.\] Отношение сопротивлений получаем по закону Ома для участка (ток общий): \(\dfrac{\omega L}{r}=\dfrac{U_L}{U_r}=\dfrac{99{,}5}{9{,}99}\approx9{,}96\).

3. Новый сердечник. Индуктивность тороида пропорциональна проницаемости сердечника (\(L=\mu\mu_0n_1^2S/l\)), а \(n_1\), размеры, \(r\) и \(\omega\) прежние: \[L'=L\,\frac{\mu'}{\mu}=\frac{L}{100},\qquad q\equiv\frac{\omega L'}{r}=\frac{9{,}96}{100}\approx0{,}0996 .\]

4. Холостой ход с новым сердечником. Закон Ома для первичной цепи: \(U_1=I\sqrt{r^2+\omega^2L'^2}\), откуда \(I=\dfrac{U_1}{r\sqrt{1+q^2}}\). Напряжение на индуктивности \[U_L'=I\omega L'=U_1\,\frac{q}{\sqrt{1+q^2}}=100{,}0\cdot\frac{0{,}0996}{1{,}005}\approx9{,}91\text{ В}.\] Вторичная обмотка по-прежнему даёт в \(n_2/n_1=2\) раза больше: \[U_2'=\frac{n_2}{n_1}\,U_L'\approx19{,}8\text{ В}.\]

Обратите внимание: вычитать \(U_1-Ir\) арифметически нельзя. Тогда по «недобору» \(Ir=0{,}5\) В и росту тока в 100 раз получилось бы \(Ir'=50\) В, \(U_L'=50\) В и \(U_2'=100\) В — в пять раз больше правильного ответа. Напряжения на \(r\) и \(L\) сдвинуты на \(90^\circ\), поэтому с ростом \(U_r\) напряжение \(U_L\) падает почти до нуля.

Ответ. В буквах: \(U_2'=\dfrac{n_2}{n_1}\,U_1\,\dfrac{q}{\sqrt{1+q^2}}\), где \(q=\dfrac{\mu'}{\mu}\cdot\dfrac{U_L}{\sqrt{U_1^2-U_L^2}}\), \(U_L=U_2\dfrac{n_1}{n_2}\). В числах: \(U_2'\approx19{,}8\) В.

Проверка. Подстановка \(\mu'=\mu\) (\(q=9{,}96\)) возвращает \(U_2=2\cdot100\cdot9{,}96/\sqrt{1+9{,}96^2}=199{,}0\) В. Предел \(\mu'\to0\) (\(q\to0\)): \(U_2'\to0\) — ток холостого хода велик, и всё напряжение падает на \(r\); предел \(\mu'\to\infty\): \(U_2'\to200\) В, идеальный трансформатор. Точность: \(U_2\) задано четырьмя цифрами, но \(U_r\) определяется малой разностью, поэтому ответ верен до нескольких процентов: \(19{,}8\pm0{,}5\) В.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.