Двигатель, замкнутый накоротко

Движущийся в магнитном поле якорь сам даёт ЭДС индукции, пропорциональную скорости нити, а ток в нём создаёт силу на нить. Запишите равновесие груза в двух режимах и сравните: оба раза в нём есть слагаемое \(c^2v/R\).

\(v=v_0-v_1\).

Что происходит. Якорь в поле постоянного магнита — и двигатель, и генератор одновременно. Вращаясь, он создаёт ЭДС индукции \(E\), направленную против тока источника; ток в якоре создаёт силу \(F\) на нить. Когда якорь замкнут накоротко, источника нет, и опускающийся груз вращает якорь: мотор работает генератором и тормозит груз. Груз опускается равномерно, когда сила торможения равна \(mg\).

Обозначения. \(U\) — напряжение источника (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем), \(R\) — сопротивление обмотки якоря, \(v\) — скорость нити, \(I\) — ток в якоре, \(F\) — сила, с которой якорь тянет нить. Поле магнита постоянно, поэтому \(E=cv\), где \(c\) — постоянная двигателя (в простейшей модели \(c=Bl\)). После замыкания цепь якоря состоит только из обмотки сопротивлением \(R\) и ЭДС \(E\).

1. Связь силы и тока. Без трения вся электрическая мощность, развиваемая ЭДС, идёт в механическую: \(EI=Fv\). Подставим \(E=cv\): \(cvI=Fv\), откуда \(F=cI\) — сила на нити пропорциональна току с той же постоянной \(c\).

2. Холостой ход. Невесомая нить не нагружена, значит \(F=0\) и \(I=0\). Падения напряжения на \(R\) нет: \(U=E=cv_0\).

3. Подъём груза. Закон Ома для цепи якоря: напряжение источника уравновешено падением на \(R\) и ЭДС индукции, \(U=IR+cv_1\). Отсюда \(I=\dfrac{c(v_0-v_1)}{R}\). Груз поднимается равномерно: \(F=mg\), то есть \[mg=cI=\frac{c^2}{R}\,(v_0-v_1).\]

4. Замыкание накоротко. Груз опускается со скоростью \(v_2\) (равномерно, после разгона). ЭДС \(E=cv_2\) создаёт ток по закону Ома для замкнутой цепи из \(R\): \(I=cv_2/R\). Сила на нити — тормозящая и по пункту 1 равна \(F=cI=\dfrac{c^2}{R}\,v_2\). Равномерное опускание: \(F=mg\), \[mg=\frac{c^2}{R}\,v_2.\]

5. Сравнение. Правые части пунктов 3 и 4 равны \(mg\) при одинаковом множителе \(c^2/R\), значит \(v_2=v_0-v_1\). На графике \(F(v)\) режимы — параллельные прямые наклона \(-c^2/R\), сдвинутые по оси скорости на \(v_0\); на высоте \(mg\) расстояние между ними \(v_1+v_2=v_0\).

Обратите внимание: постоянных \(c\) и \(R\) по условию знать не нужно — они сокращаются. Для груза неизвестной массы \(mg=c^2(v_0-v_1)/R\) как раз выражает их через опыт.

Ответ. В буквах: \(v=v_0-v_1\). Груз опускается вниз с этой скоростью; числовых данных в задаче нет.

Проверка. Размерность: скорость. Предельные случаи: груз очень лёгкий (\(mg\to0\)): \(v_1\to v_0\) и \(v_2\to0\) — замкнутый якорь тормозит даже лёгкий груз практически до остановки; груз очень тяжёлый (\(v_1\to0\), мотор едва держит груз): \(v_2\to v_0\). Физический смысл: ток, а значит и сила, определяются разностью скорости нити и «скорости холостого хода», и при замыкании источника эта разность смещается на \(v_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.