Три тела на прямой

Лёгкое тело многократно отскакивает от тяжёлых и понемногу раскачивает их. Подумайте, когда ударов уже не будет и что тогда можно сказать об энергии и импульсе лёгкого тела по сравнению с тяжёлыми.

\(v_1=V\sqrt{\dfrac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)}}\) (тело \(m_1\) уходит влево), \(v_3=V\sqrt{\dfrac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}}\) (тело \(m_3\) уходит вправо). При \(m_1=m_3=M\): \(v_1=v_3=V\sqrt{m_2/(2M)}\).

Что происходит. Среднее тело летит к \(m_3\) и отскакивает от него (тяжёлое тело почти не сдвигается, но немного разгоняется вправо), потом отскакивает от \(m_1\), и так много раз: каждое столкновение чуть разгоняет тяжёлые тела в разные стороны, а лёгкое при этом теряет энергию. Решать «в лоб», ударом за ударом, не нужно: достаточно понять, чем кончится процесс, и записать законы сохранения для конечного состояния.

Обозначения. Ось \(x\) направим вправо, \(V>0\) (лёгкое тело сначала летит к \(m_3\)). Скорости после последнего удара: \(v_1<0\), \(v_3>0\) у тяжёлых тел, \(w\) у лёгкого.

1. Когда ударов больше нет. Удары прекращаются, когда лёгкое тело не догоняет ни \(m_1\), ни \(m_3\): \(v_1\le w\le v_3\). Значит, \(|w|\le\max(|v_1|,|v_3|)\): лёгкое тело в конце движется не быстрее тяжёлых.

2. Оценка скоростей тяжёлых тел. Кинетическая энергия тел не может быть больше начальной (удары упругие, энергия сохраняется): \(\tfrac12m_1v_1^2\le\tfrac12m_2V^2\), то есть \(|v_1|\le V\sqrt{m_2/m_1}\ll V\), и так же для \(m_3\). Поэтому у лёгкого тела в конце скорость \(|w|\ll V\): оно почти останавливается, а его энергия и импульс малы.

3. Законы сохранения для конечного состояния. Закон сохранения импульса системы трёх тел на горизонтальной прямой (внешних горизонтальных сил нет): \[m_1v_1+m_3v_3+m_2w=m_2V.\] Закон сохранения энергии (удары упругие, трения нет): \[\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}=\frac{m_2V^2}{2}.\] Здесь \(m_2w\) и \(m_2w^2/2\) малы: из п. 2 следует \(m_2|w|\le m_2|v_{\max}|\), а импульсы тяжёлых тел, как видно ниже, много больше \(m_2V\) (проверка в конце). Пренебрегаем: получаем два уравнения для \(v_1\), \(v_3\): \[m_1v_1+m_3v_3=0,\qquad m_1v_1^2+m_3v_3^2=m_2V^2.\]

4. Решение. Из первого \(v_3=-\dfrac{m_1}{m_3}v_1\). В энергию: \[m_1v_1^2\left(1+\frac{m_1}{m_3}\right)=m_2V^2\ \Rightarrow\ v_1^2=V^2\,\frac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)},\qquad v_3^2=V^2\,\frac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}.\] Знаки: \(v_1<0\) (левое тело уходит влево), \(v_3>0\).

Обратите внимание: сначала нельзя пренебрегать импульсом лёгкого тела: в начале он целиком принадлежит ему. Пренебречь им можно только в конце, когда лёгкое тело почти остановилось, а тяжёлые несут равные и противоположные импульсы, много большие \(m_2V\).

Ответ. В буквах: \(|v_1|=V\sqrt{\dfrac{m_2m_3}{m_1(m_1+m_3)}}\), \(|v_3|=V\sqrt{\dfrac{m_2m_1}{m_3(m_1+m_3)}}\); при равных массах \(m_1=m_3=M\): \(v=V\sqrt{\dfrac{m_2}{2M}}\).

Проверка. Размерность: корень безразмерный, скорость — \(V\). Импульс каждого тяжёлого тела равен \(V\sqrt{m_2m_1m_3/(m_1+m_3)}\), это много больше \(m_2V\), так как \(\sqrt{m_1m_3/(m_1+m_3)}\gg\sqrt{m_2}\), то есть пренебрежение из п. 3 законно. Предел \(m_1\to\infty\): \(v_1\to0\), всё идёт во второй шарик — он просто отражается от стенки и забирает вторую «стенку» в движение. Численно: прямой счёт ударов при \(m_1=m_3=10^4m_2\) даёт \(|v_1|=0{,}00702V\), формула — \(0{,}00707V\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.