Тяга водородного двигателя

Тяга — реакция вытекающей струи плюс давление газа на выходное сечение. Расход продуктов сгорания найдите по уравнению реакции, скорость струи — из расхода, плотности пара (уравнение состояния) и сечения.

\(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ), где \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\) — молярная масса воды, \(R\) — газовая постоянная.

Что происходит. Водород и кислород сгорают в камере в водяной пар, который вытекает из сопла со скоростью \(u\). Двигатель получает тягу по закону сохранения импульса: за секунду из него уходит масса \(\mu\) со скоростью \(u\), а кроме того на выходное сечение действует давление газа. Нужно найти \(\mu\), \(u\) и сложить.

Обозначения. \(\mu\) — масса продуктов, вытекающая за секунду; \(u\) — скорость струи в выходном сечении; \(\rho\) — плотность пара в нём; \(M=18\text{ г/моль}\) — молярная масса воды. Снаружи вакуум (двигатель в космосе). Пар считаем идеальным газом, установившееся течение.

1. Расход продуктов. Горение \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}\): на \(4\) г водорода нужно \(32\) г кислорода, значит, на массу \(m\) водорода — \(8m\) кислорода. Закон сохранения массы в стационарном режиме: за секунду вытекает всё, что вошло, \[\mu=m+8m=9m.\]

2. Плотность пара. Уравнение состояния идеального газа для пара в выходном сечении: \[\rho=\frac{PM}{RT}.\]

3. Скорость струи. Масса, проходящая за секунду через сечение \(S\), равна \(\rho uS\) (закон сохранения массы): \[\mu=\rho uS\ \Rightarrow\ u=\frac{\mu}{\rho S}=\frac{9m\,RT}{PMS}.\]

4. Тяга. Закон изменения импульса для газа внутри двигателя (стационарно): сумма сил, действующих на газ, равна импульсу, уносимому за секунду, \(\mu u\). На газ действуют: сила \(W\) со стороны стенок и сила давления \(PS\) в выходном сечении, направленная внутрь (против потока). Снаружи пусто, давления снаружи нет. Скорость втекающих веществ мала, их импульс не учитываем. Проекция на направление струи: \[W-PS=\mu u\ \Rightarrow\ W=\mu u+PS.\] По третьему закону Ньютона газ действует на двигатель с силой той же величины в обратную сторону — это и есть тяга: \[F=\mu u+PS=\frac{\mu^2RT}{MPS}+PS=\frac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS.\]

5. Число. \(R/M=8{,}31/0{,}018\approx462\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\), поэтому \[F\approx3{,}7\cdot10^4\,\frac{m^2T}{PS}+PS\quad(\text{СИ: }m\text{ в кг/с},\ T\text{ в К},\ P\text{ в Па},\ S\text{ в м}^2).\]

Обратите внимание: слагаемое \(PS\) нужно, потому что давление на выходе не равно внешнему (здесь нулевому). В атмосфере вместо \(P\) стоит разность \(P-P_0\) с внешним давлением \(P_0\).

Ответ. В буквах: \(F=\dfrac{81\,m^2RT}{M\,PS}+PS\) с \(M=0{,}018\text{ кг/моль}\); в числах: \(F\approx3{,}7\cdot10^4\,\dfrac{m^2T}{PS}+PS\) (СИ).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{(\text{кг/с})^2\cdot\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot\text{К}}{(\text{кг/моль})\cdot\text{Па}\cdot\text{м}^2}=\dfrac{\text{кг}^2\,\text{Дж}}{\text{с}^2\,\text{кг}\,\text{Н}}=\text{кг}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}=\text{Н}\), и \(PS\) — тоже Н. Знак слагаемых: оба положительны, тяга направлена против струи. Предел: при очень большом \(P\) скорость струи мала, и тяга определяется давлением \(PS\); при малом \(P\) — реакцией струи \(\mu u\) (в зависимости от \(P\) тяга имеет минимум при \(P=\mu\sqrt{RT/M}/S\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.