Шар на лестнице

Шар касается рёбер ступенек. При переходе с одного ребра на следующее исчезает составляющая скорости вдоль радиуса к новому ребру. Приравняйте энергию, теряемую на одном ударе, к энергии, выигрываемой при спуске на одну ступеньку.

\(v_{\max}=R\sqrt{g/a}\).

Что происходит. Шар большого радиуса (\(R\gg a\)) не попадает в углы между ступеньками, он движется, цепляясь за рёбра. Каждый переход на следующее ребро — неупругий удар: пропадает составляющая скорости вдоль радиуса к ребру. Скорость растёт, пока потеря энергии на ударе меньше выигрыша при спуске на ступеньку; предел — равенство этих величин. Ключевые законы — закон сохранения энергии между ударами (трения нет, нормальная реакция работы не совершает) и неупругий удар с потерей нормальной составляющей скорости.

Обозначения. Рёбра ступенек лежат на прямой под \(45^\circ\) с расстоянием \(d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\) между соседними. \(v\) — скорость центра шара перед ударом. Центр шара всё время на расстоянии \(R\) от касающегося ребра. Масса шара \(m\).

1. Угол между радиусами. Когда шар касается двух соседних рёбер \(C_k\) и \(C_{k+1}\) сразу, центр \(O\) равноудалён от них. Хорда \(d\ll R\), поэтому угол между \(OC_k\) и \(OC_{k+1}\) равен \(d/R\).

2. Удар о следующее ребро. До удара шар поворачивается вокруг \(C_k\): скорость \(\vec v\) перпендикулярна \(OC_k\). Нормаль к ребру \(C_{k+1}\) — линия \(OC_{k+1}\), она повёрнута на угол \(d/R\). Составляющая скорости вдоль неё \[v_n=v\sin\frac dR\approx v\,\frac dR\] исчезает при абсолютно неупругом ударе, трения нет, поэтому касательная составляющая сохраняется. Потеря энергии \[\Delta E=\frac{mv_n^2}{2}=\frac{mv^2}{2}\,\frac{d^2}{R^2}.\]

3. Выигрыш при спуске. Пока шар поворачивается вокруг ребра, нормальная сила работы не совершает, а центр опускается на высоту ступеньки \(a\): энергия растёт на \(mga\) за ступеньку.

4. Баланс в установившемся режиме. Скорость перестаёт расти, когда потеря равна выигрышу: \[\frac{mv^2}{2}\,\frac{d^2}{R^2}=mga\ \Rightarrow\ v^2=\frac{2gaR^2}{d^2}=\frac{2gaR^2}{2a^2}=\frac{gR^2}{a}.\] Если считать от начала (при \(v_0=0\)): \(v_{k+1}^2=v_k^2\,(1-q)+2ga\), \(q=d^2/R^2\), поэтому \(v_k^2=v_\infty^2\left[1-(1-q)^k\right]\), где \(v_\infty^2=2ga/q\): скорость приближается к пределу, не превышая его.

Обратите внимание: это ответ модели «шар всё время держится за рёбра». Она требует \(v^2/R\lesssim g\), а найденное \(v_\infty^2/R=gR/a\) много больше \(g\) при \(a\ll R\): на таких скоростях шар на самом деле начинает отрываться от рёбер и лететь над ними, и потери на ударах уменьшаются. Условие ждёт конечный ответ, поэтому дано значение, при котором потеря энергии на ударе уравновешивает выигрыш при спуске.

Ответ. В буквах: \(v_{\max}=R\sqrt{g/a}\); в числах, например для \(R=10\text{ см}\), \(a=1\text{ мм}\): \(v_{\max}=0{,}1\sqrt{9{,}8/0{,}001}\approx10\text{ м/с}\).

Проверка. Размерность: \(\text{м}\cdot\sqrt{(\text{м/с}^2)/\text{м}}=\text{м/с}\). Предел \(a\to0\) (гладкий наклон без потерь): \(v_{\max}\to\infty\), как для шара на наклонной плоскости без трения и без потерь. Рост с \(R\): больший шар меньше «чувствует» ступеньки (угол \(d/R\) мал, потери малы), и скорость выше — это физически разумно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.