Брусок в коробке на столе

При каждом упругом соударении бруска и коробки они обмениваются скоростями. После первого соударения брусок остановится, а коробка поедет направо со скоростью \(v_0\). Запишем уравнение движения коробки: \[\dfrac{m\Delta v}{\Delta t} = -\gamma v,\] откуда \(m\Delta v = -\gamma v\Delta t = -\gamma\Delta S\), и \(mv_0 = \gamma S\), где \(S\) — путь, пройденный коробкой. Следовательно, коробка проедет расстояние \(L\) и сможет столкнуться с бруском при выполнении условия \(S > L\), то есть при \(mv_0 > \gamma L\). При этом её скорость перед вторым соударением будет равна \(v_1 = v_0 + \Delta v = v_0 - \gamma L/m\). При втором соударении брусок приобретёт скорость \(v_1\), а коробка остановится. При третьем соударении брусок остановится, а коробка приобретёт скорость \(v_1\), после чего все описанные процессы будут повторяться до тех пор, пока коробка не остановится.

Рассуждая аналогичным образом, получаем, что соударения с нечётными номерами будут обязательно происходить, а соударения с чётными номерами могут как происходить, так и не происходить — в зависимости от того, чему равна скорость коробки после предыдущего соударения, имеющего нечётный номер.

Заметим, что при движении коробки по столу между двумя последовательными соударениями с бруском её скорость каждый раз изменяется на одну и ту же величину \(\Delta v = -\gamma L/m\). Поэтому соударение с номером \(2n\) произойдёт, если скорость коробки перед этим соударением будет положительна: \(v_n = v_0 - n\gamma L/m > 0\). Следовательно, брусок совершит \(2n + 1\) ударов о коробку, где \(n\) — наибольшее целое число, удовлетворяющее условию \(n < mv_0/(\gamma L)\).