Два куба на термостате

В кубах разного размера изменение температуры со временем будет происходить подобным образом, но с различной скоростью. Пусть \(a\) — длина ребра куба, а \(x < a\) — расстояние от поверхности термостата. Тогда функция, описывающая зависимость температуры \(T\) от координаты \(x\) и времени \(t\) в малом и большом кубах, будет одинакова, если в качестве её аргументов взять отношения \(x/a\) и \(t/\tau\), где \(\tau\) — некоторое характерное время прогревания данного куба. Очевидно, что это характерное время обратно пропорционально скорости нарастания температуры в соответствующих точках кубов.

Разобьём малый и большой кубы на одинаковое количество маленьких кубиков. При этом если длина ребра у маленького кубика, на которые разбит малый куб, равна \(\Delta x\), то у кубика в большом кубе длина ребра будет равна \(2\Delta x\). Рассмотрим процесс нагревания маленьких кубиков, занимающих подобные положения внутри малого и большого кубов, то есть находящихся на расстояниях, соответственно, \(x/a\) и \(x/(2a)\) от граней, касающихся термостата, в те (разные!) моменты времени, когда их температуры одинаковы. Одинаковыми будут при этом и разности температур \(\Delta T\) между соответствующими гранями кубиков. Количество тепла \(\Delta Q\), распространяющееся через кубик за счёт теплопроводности и частично остающееся в кубике, пропорционально площади грани кубика (\(\Delta x^2\) или \(4\Delta x^2\)), величине промежутка времени \(\Delta t\) и отношению \(\Delta T\) к «толщине» кубика (\(\Delta x\) или \(2\Delta x\)). Это тепло идёт на нагревание кубика, масса которого пропорциональна его объёму (\(\Delta x^3\) или \(8\Delta x^3\)), то есть на увеличение его температуры на величину \(\delta T\): \[\Delta Q \sim \Delta x^2\cdot\Delta t\cdot\dfrac{\Delta T}{\Delta x} \sim \Delta x^3\cdot\delta T\] (уравнение записано для маленького кубика). Отсюда следует, что скорость изменения температуры \(\delta T/\Delta t \sim \Delta x^{-2}\), то есть в большом кубике с размером ребра \(2\Delta x\) она будет в 4 раза меньше, чем в маленьком, а характерное время прогревания большого куба (а с ним и время достижения температуры \(T_2\) в центре куба) будет в 4 раза больше, чем у малого куба.