Поле двух полуплоскостей

Представим сначала, что полуплоскости имеют конечный размер \(b\) в направлении, перпендикулярном их краям. Изобразим вид рассматриваемой системы сбоку (см. рис. 3.8) и проведём через точку \(M\) две плоскости \(MM_1\) и \(MM_2\), перпендикулярные плоскости чертежа, так, чтобы они составляли друг с другом малый угол и проходили через обе заряженные полуплоскости. Плоскости \(MM_1\) и \(MM_2\) вырежут в заряженных полуплоскостях две узкие полоски \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\).

Известно, что длинная узкая полоска создаёт на расстоянии \(r\) от себя электрическое поле с напряжённостью \(E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\), где заряд единицы длины полоски \(\lambda = \sigma\Delta h\) (\(\Delta h = |AB|\) — ширина полоски). Поэтому верхняя полоска \(A_1B_1\) создаёт в точке \(M\) поле \(\Delta E_1 = \dfrac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{|A_1B_1|}{|A_1M|}\), причём вектор \(\Delta\vec E_1\) направлен от \(A_1B_1\). Аналогичным образом, нижняя полоска \(A_2B_2\) создаёт в точке \(M\) поле с напряжённостью \(\Delta E_2 = \dfrac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{|A_2B_2|}{|A_2M|}\), но вектор \(\Delta\vec E_2\) направлен к \(A_2B_2\). Из подобия треугольников \(MA_1B_1\) и \(MA_2B_2\) следует, что \(\dfrac{|A_1B_1|}{|A_1M|} = \dfrac{|A_2B_2|}{|A_2M|}\). Поэтому поля этих полосок взаимно компенсируют друг друга.

Такие рассуждения справедливы для всех пар полосок, вырезанных плоскостями \(MM_1\) и \(MM_2\) из верхней и нижней полуплоскостей, за исключением самой дальней от точки \(M\) полоски \(KL\), принадлежащей верхней полуплоскости. Из чертежа видно, что для неё не найдётся парной полоски на нижней полуплоскости. Поэтому искомая напряжённость поля \(E\) в точке \(M\) будет равна напряжённости, создаваемой полоской \(KL\) в этой точке: \(E = \dfrac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{|KL|}{|LM|}\). Так как \[|KL| = \dfrac{bd}{h + d} \approx \dfrac{bd}{h} \ll b;\quad|LM| = \sqrt{h^2 + (b - |KL|)^2} \approx \sqrt{h^2 + b^2},\] то \(E = \dfrac{\sigma bd}{2\pi\varepsilon_0h\sqrt{h^2 + b^2}}\).

Для того, чтобы выяснить, чему равна напряжённость поля в точке \(M\) в случае бесконечных полуплоскостей, разложим вектор \(\vec E\) на две компоненты \(\vec E_\parallel\) и \(\vec E_\perp\) — параллельную и перпендикулярную полуплоскостям, и сделаем предельный переход \(b \to \infty\): \[E_\parallel = E\cos\alpha \approx \dfrac{\sigma b^2d}{2\pi\varepsilon_0h(h^2 + b^2)} \to \dfrac{\sigma d}{2\pi\varepsilon_0h},\] \[E_\perp = E\sin\alpha \approx \dfrac{\sigma bd}{2\pi\varepsilon_0(h^2 + b^2)} \to 0.\] Следовательно, вектор напряжённости электростатического поля, создаваемого рассматриваемой системой в точке \(M\), направлен параллельно полуплоскостям, а напряжённость поля равна \(E_\parallel = \dfrac{\sigma d}{2\pi\varepsilon_0h}\).