Остывание чая в двух стаканах

Для удобства будем называть разность температур чая и окружающей среды просто температурой \(T\). Тогда если чай в стакане до переливания имел некоторую температуру \(T_1\), а после переливания в холодный стакан остыл до температуры \(T_2\), то справедливо уравнение теплового баланса: \[C(T_1 - T_2) = C_0T_2,\] откуда \[T_2 = \dfrac{C}{C_0 + C}T_1.\] Таким образом, температура чая после переливания пропорциональна его температуре до переливания: \(T_2 = \beta T_1\), причём коэффициент пропорциональности \(\beta = \dfrac{C}{C_0 + C} < 1\).

Поскольку, согласно условию задачи, теплоотдача стакана с чаем пропорциональна введённой нами температуре \(T\), то скорость изменения температуры стакана с чаем: \[\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = -\alpha T,\] где \(\alpha > 0\) — постоянный коэффициент пропорциональности, а \(\Delta t\) — малый промежуток времени. Это уравнение можно переписать в виде: \[\dfrac{\Delta T}{T} = \dfrac{T(t + \Delta t) - T(t)}{T(t)} = -\alpha\Delta t,\] откуда видно, что отношение \(B(\Delta t) = \dfrac{T(t + \Delta t)}{T(t)}\) не зависит от \(T\), даже если \(\Delta t\) — не малый, а конечный промежуток времени.

В частности, в качестве \(\Delta t\) можно выбрать промежуток времени от \(t = 0\) (начало остывания) до \(t = t_{\text{к}}\) (момент времени, к которому чай остынет до нужной температуры \(T_{\text{к}}\)).

Рассмотрим далее процессы 1 и 2 охлаждения чая (см. рис. 2.25). В первом процессе температура вначале падает от \(T_0\) до \(\beta T_0\) за счёт переливания чая в холодный стакан, а затем уменьшается за счёт теплоотдачи ещё в \(B(t_{\text{к}})\) раз и достигает значения \[T^{(1)}(t_{\text{к}}) = T_{\text{к}} = B(t_{\text{к}})\beta T_0.\] Во втором процессе к моменту времени \(t_{\text{к}}\) чай за счёт теплоотдачи остынет до температуры \(T' = B(t_{\text{к}})T_0\), а затем, после переливания в холодный стакан, его температура уменьшится ещё в \(\beta\) раз и станет равной: \[T^{(2)}(t_{\text{к}}) = \beta T' = \beta B(t_{\text{к}})T_0 = T^{(1)}(t_{\text{к}}) = T_{\text{к}}.\] Таким образом, время остывания чая до нужной температуры в обоих процессах одинаково, то есть чай можно переливать из одного стакана в другой в любой момент времени от \(t = 0\) до \(t = t_{\text{к}}\).