Транзистор на пластине

Подсказка

Разбейте пластину на малые участки с почти одинаковой температурой: каждый отдаёт мощность, пропорциональную своей площади и разности температур. Какая средняя температура пластины получается по долям площади между изотермами?

Ответ

\(T_{\text{в}}=\langle T\rangle-\dfrac{35\text{ К}}{10\text{ Вт}}\,P\approx48\,^\circ\text{С}-24{,}5\,^\circ\text{С}\approx24\,^\circ\text{С}\) (по рисунку \(\langle T\rangle\approx48\,^\circ\text{С}\); точность оценки около \(\pm3\,^\circ\text{С}\)).

Решение

Что происходит. Разные участки пластины имеют разную температуру, но на малом участке температуру можно считать постоянной. Каждый участок отдаёт воздуху мощность, пропорциональную его площади и разности температур участка и воздуха. Складывая вклады, получаем мощность, пропорциональную разности средней по площади температуры пластины и температуры воздуха. Главная идея — пластина с неравномерным нагревом отдаёт столько же, сколько пластина, равномерно нагретая до средней температуры.

Обозначения. \(S\) — площадь пластины, \(T_{\text{в}}\) — температура воздуха, \(\langle T\rangle\) — температура пластины, усреднённая по площади, \(k\) — коэффициент теплоотдачи (мощность на единицу площади и на градус разности).

1. Теплоотдача малого участка. Участок площадью \(dS\) с температурой \(T\) отдаёт мощность \(dP=k\,(T-T_{\text{в}})\,dS\): это и есть условие, что теплоотдача пропорциональна разности температур.

2. Вся пластина. Просуммируем по всем участкам, от одного края пластины до другого: \[P=k\int(T-T_{\text{в}})\,dS=kS\bigl(\langle T\rangle-T_{\text{в}}\bigr),\qquad \langle T\rangle=\frac1S\int T\,dS .\]

3. Постоянная \(kS\). Для равномерно нагретой пластины \(\langle T\rangle=70\,^\circ\text{С}\), \(T_{\text{в}}=35\,^\circ\text{С}\), мощность \(P_0\): \[kS=\frac{P_0}{70-35}=\frac{10\text{ Вт}}{35\text{ К}}\approx0{,}29\text{ Вт/К}.\]

4. Средняя температура по рисунку. Между соседними изотермами температура меняется от одной до другой, поэтому в каждой области берём среднее значение. Измеренные по рисунку 3 доли площади пластины:

Обратите внимание: у крайних областей один край не задан изотермой. Пятно внутри \(70\,^\circ\) мало, и его вклад почти не зависит от выбора \(75\) или \(70\,^\circ\); углы пластины вне \(40\,^\circ\) заняты пятой частью площади, и их температуру мы оценили в \(35\,^\circ\) (между \(30\) и \(40\,^\circ\)), что даёт погрешность около \(1\,^\circ\). Тогда \[\langle T\rangle=0{,}02\cdot75+0{,}09\cdot65+0{,}25\cdot55+0{,}44\cdot45+0{,}20\cdot35\approx48\,^\circ\text{С}.\]

5. Температура воздуха. Из пункта 2: \(T_{\text{в}}=\langle T\rangle-P/(kS)\). Неизвестным осталось только \(P/(kS)\): \[\frac{P}{kS}=\frac{7\text{ Вт}}{10\text{ Вт}/35\text{ К}}=24{,}5\text{ К},\qquad T_{\text{в}}\approx48-24{,}5\approx24\,^\circ\text{С}.\]

Проверка. Размерность: \([\text{Вт}/\text{К}\cdot\text{К}]=\text{Вт}\). Второй способ для \(\langle T\rangle\): представим температуру как \(35\,^\circ+10\,^\circ\cdot N\), где \(N\) — число изотерм, охватывающих участок; тогда \(\langle T\rangle=35+10\,(A_{40}+A_{50}+A_{60}+A_{70})/S\), где \(A_X\) — площадь внутри изотермы \(X\). Для долей \(0{,}80;\,0{,}36;\,0{,}11;\,0{,}02\) получаем \(35+10\cdot1{,}29\approx48\,^\circ\text{С}\), то же число. Смысл: у такой пластины средняя температура \(48\,^\circ\) ниже \(70\,^\circ\), поэтому при тех же \(35\,^\circ\) воздуха она отдавала бы не \(10\), а \(10\cdot13/35\approx3{,}7\) Вт; чтобы отдавать \(7\) Вт, воздух должен быть холоднее — около \(24\,^\circ\).

Ответ. \(T_{\text{в}}=\langle T\rangle-\dfrac{P}{kS}\approx24\,^\circ\text{С}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.