Домино

Костяшка падает на соседнюю, когда её верхний конец отклонится от вертикали на угол \(\operatorname{arctg}\tfrac12\); угловая скорость перед ударом находится из энергии. Во время удара сила между костяшками горизонтальна — запишите уравнения моментов импульса относительно оснований обеих костяшек.

\(\omega=\sqrt{\dfrac{4g}{7\ell}\left(1-\dfrac2{\sqrt5}\right)}\), где \(\ell=\sqrt5\,d\) — длина костяшки.

Пусть \(i\)-я костяшка домино имеет начальную угловую скорость \(\omega_i\). Сначала найдём \(\omega_i'\) — угловую скорость этой костяшки непосредственно перед столкновением со следующей. Столкновение происходит, когда костяшка упала на угол \(\alpha=\operatorname{arctg}\left(\dfrac12\right)\). По закону сохранения энергии \(\dfrac12I\omega_i'^2=\dfrac12I\omega_i^2+\dfrac12mg\ell\,(1-\cos\alpha)\). Следовательно, \[\omega_i'=\sqrt{\omega_i^2+\frac{mg\ell}I\,(1-\cos\alpha)}=\sqrt{\omega_i^2+\frac{3g}\ell\left(1-\frac2{\sqrt5}\right)}. \tag{1}\] Столкновение двух костяшек неупругое, поэтому после столкновения две костяшки движутся вместе (в течение пренебрежимо короткого времени, пока первая костяшка не ударится о край ступени). После столкновения двух костяшек пусть угловая скорость первой равна \(\omega_i''\). Поскольку две костяшки движутся согласованно, \[\cos\alpha\,\ell\,\omega_i''=\cos\alpha\,\frac\ell2\,\omega_{i+1}\quad\Longrightarrow\quad\omega_i''=\frac12\,\omega_{i+1}. \tag{2}\] Во время столкновения сила между двумя костяшками всегда горизонтальна (поскольку трения между ними нет); пусть эта сила равна \(F(t)\), где \(t\) — время. Рассмотрим момент импульса \(i\)-й костяшки относительно её основания. \[I(\omega_i'-\omega_i'')=\ell\cos\alpha\int_{\text{начало столкновения}}^{\text{выравнивание скоростей}}F(t)\,\mathrm dt. \tag{3}\] Для второй костяшки имеем аналогичное уравнение. \[I\omega_{i+1}=\cos\alpha\,\frac\ell2\int_{\text{начало столкновения}}^{\text{выравнивание скоростей}}F(t)\,\mathrm dt. \tag{4}\] Уравнения (3) и (4) вместе дают \[\omega_i'-\omega_i''=2\omega_{i+1}. \tag{5}\] Теперь можно подставить уравнения (2) и (1) в (5), чтобы выразить \(\omega_{i+1}\) через \(\omega_i\): \[\omega_{i+1}=\frac25\,\omega_i'=\frac25\sqrt{\omega_i^2+\frac{3g}\ell\left(1-\frac2{\sqrt5}\right)}. \tag{6}\] В установившемся режиме \(\omega_i=\omega_{i+1}=\omega\). Это позволяет наконец вычислить \(\omega\): \[\omega_i^2=\frac4{25}\,\omega_i^2+\frac{12g}{25\ell}\left(1-\frac2{\sqrt5}\right)\quad\Longrightarrow\quad\omega=\omega_i=\sqrt{\frac{4g}{7\ell}\left(1-\frac2{\sqrt5}\right)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.