Спутник

Освещённость обратно пропорциональна \(r^2\), а время удобно заменить углом: \(\mathrm dt=\mathrm d\alpha/\omega\) и \(\omega r^2=J/m\) постоянно. Для максимума нужно минимизировать произведение \(TJ\) — это достигается минимальной скоростью спутника относительно Солнца.

1) \(v_m=\sqrt{2GM_\oplus/r_\oplus}\);  2) \(v_1=\sqrt{v_0^2-2gr_\oplus}\);  3) \(I_{\text{ср}}=\dfrac{L_\odot m}{2TJ}\);  4) запуск строго против движения Земли, \(I_{\text{ср}}=\dfrac{L_\odot}{4\pi R_\oplus^2}\dfrac{(2-x^2)^{3/2}}{x}\), где \(x=1-\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{GM_\odot}}\sqrt{v_0^2-2gr_\oplus}\).

i) Из закона сохранения энергии \[\frac{mv_m^2}{2}-\frac{GM_\oplus m}{r_\oplus}=0,\] откуда \[v_m=\sqrt{\frac{2GM_\oplus}{r_\oplus}}.\]

ii) Пусть \(v_1\) — скорость спутника сразу после выхода из гравитационного поля Земли. Из закона сохранения энергии \[\frac{mv_0^2}{2}-\frac{GM_\oplus m}{r_\oplus}=\frac{mv_1^2}{2},\] где \(M_\oplus\) — масса Земли. Кроме того, \(g=GM_\oplus/r_\oplus^2\). Поэтому \[v_1=\sqrt{v_0^2-\frac{2GM_\oplus}{r_\oplus}}=\sqrt{v_0^2-2gr_\oplus}.\]

iii) Среднюю освещённость можно записать как \[I_{\text{ср}}=\frac1T\int_0^T I(t)\,\mathrm dt,\] где \(I(t)\) — освещённость спутника в момент \(t\). Освещённость выражается как \(I(t)=\dfrac{L_\odot}{4\pi r(t)^2}\). Удобнее интегрировать по углу, а не по времени, воспользовавшись \(\mathrm dt=\dfrac{\mathrm d\alpha}{\omega(\alpha)}\), где \(\omega\) — угловая скорость спутника. Получаем \[I_{\text{ср}}=\frac1T\int_0^{2\pi}\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\frac{\mathrm d\alpha}{\omega}=\frac{L_\odot}{4\pi T}\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\alpha}{\omega r^2}.\] Заметим, что знаменатель подынтегрального выражения очень похож на момент импульса спутника. Действительно, момент импульса \(J=mvr=m\omega r^2=\text{const}\). Тогда \[I_{\text{ср}}=\frac{L_\odot}{4\pi T}\int_0^{2\pi}\mathrm d\alpha\,\frac mJ=\frac{L_\odot m}{4\pi TJ}\int_0^{2\pi}\mathrm d\alpha=\frac{L_\odot m}{2TJ}.\]

iv) Так как \(L_\odot\) и \(m\) постоянны, нужно минимизировать величину \(TJ\). Заметим, что минимальный момент импульса соответствует запуску прямо против движения Земли. Оказывается, этому же случаю соответствует и минимальный период обращения. Пусть \(\vec v_2\) — скорость спутника в системе отсчёта Солнца. Тогда \(\vec v_2=\vec v_1-\vec v_\oplus\), где \(v_\oplus=\sqrt{GM_\odot/R_\oplus}\) — скорость Земли. Для удобства обозначим \(x=\dfrac{v_2}{v_\oplus}\).

Полная энергия эллиптической орбиты \(E_{\text{полн}}=-\dfrac{GM_\odot m}{2a}\). С другой стороны, полная энергия равна \(E_{\text{полн}}=\dfrac{mv_2^2}{2}-\dfrac{GM_\odot m}{R_\oplus}\). Объединяя оба выражения и преобразуя, получаем

\[\frac{R_\oplus}{a}=2-\frac{v_2^2R_\oplus}{GM_\odot}=2-x^2.\] Из третьего закона Кеплера \(\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_\odot}\). Поэтому \[T=\frac{2\pi R_\oplus^{3/2}}{\sqrt{GM_\odot}}\,(2-x^2)^{-3/2}.\] Как видно, чтобы минимизировать \(T\), надо минимизировать и \(v_2\).

Итак, средняя освещённость максимальна, когда спутник запущен прямо против движения Земли. Соответствующее значение \[I_{\text{ср}}=\frac{L_\odot}{4\pi R_\oplus^2}\sqrt{\frac{GM_\odot}{R_\oplus}}\,\frac1{v_2}\,(2-x^2)^{3/2}=\frac{L_\odot}{4\pi R_\oplus^2}\,\frac{(2-x^2)^{3/2}}{x},\]

где \(x=1-\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{GM_\odot}}\sqrt{v_0^2-2gr_\oplus}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.