Самогравитирующий газ

Тепловая энергия \(U=\tfrac32\int p\,\mathrm dV\); интегрируя по частям, получите \(\int V\,\mathrm dp\). Гравитационную энергию выразите через \(p'(r)\) из условия равновесия и сравните.

1) \(p'=-\dfrac{GM(r)\rho}{r^2}\);  2) \(\alpha=\dfrac32\);  3) \(\beta=\dfrac12\), то есть \(U=-\dfrac12E_G\);  4) температура растёт, радиус уменьшается;  5) \(U=-E_G\) (\(\beta=1\)).

i) Рассмотрим порцию газа с площадью поперечного сечения \(S\) и толщиной \(\mathrm dr\). Пусть локальная плотность газа в этой порции \(\rho\). Из-за сферической симметрии гравитационное поле, действующее на порцию, равно \(g=-G\dfrac{M(r)}{r^2}\), а значит, сила тяжести \(F_g=-G\dfrac{M(r)m}{r^2}=-G\dfrac{M(r)}{r^2}S\,\mathrm dr\,\rho\). По существу это следствие теоремы Гаусса для гравитационного поля. Газ также испытывает давление \(p\) снизу, действующее наружу, и давление \(p+\mathrm dp\) сверху, действующее внутрь. Это давление создаёт суммарную силу \(F_p=(p-p-\mathrm dp)S\). В гидростатическом равновесии \(F_p+F_g=0\), поэтому \(S\,\mathrm dp=-G\dfrac{M(r)S\rho}{r^2}\mathrm dr\), или, иначе, \[p'=-G\,\frac{M(r)\rho}{r^2}.\]

ii) Все последующие интегралы берутся от центра газового облака до края, где давление равно нулю. Тепловую энергию газа можно выразить как \(U=\int n(r)\,4\pi r^2\,\mathrm dr\,\langle E\rangle\), где \(\langle E\rangle=\dfrac32kT\) — средняя энергия одной молекулы газа. Из закона идеального газа \(p=nkT\), поэтому \(U=\dfrac32\int p\,\mathrm dV\). Хотим, чтобы интеграл имел вид \(U=-\alpha\int V\,\mathrm dp\). Для этого воспользуемся интегрированием по частям: \(\int p\,\mathrm dV=pV\Big|_{\text{центр}}^{\text{край}}-\int V\,\mathrm dp\). Граничные значения \(pV\) равны нулю в обоих случаях: либо \(p=0\), либо \(V=0\). Поэтому \[U=-\frac32\int V\,\mathrm dp,\] и \(\alpha=\dfrac32\).

iii) Гравитационная потенциальная энергия имеет вид \(E_G=-\int\dfrac{GM(r)}r\,\mathrm dM=-\int\dfrac{GM(r)}r\,4\pi r^2\,\mathrm dr\,\rho\). Чтобы упростить её, воспользуемся результатом первого пункта \(GM=-\dfrac{\mathrm dp}{\mathrm dr}\dfrac{r^2}\rho\). Тогда \[E_G=\int\mathrm dp\,4\pi r^3=3\int\mathrm dp\,V.\] Отсюда видно, что \(\dfrac{E_G}3=-\dfrac23U\), или \(U=-\dfrac12E_G\). Следовательно, \(\beta=\dfrac12\). Можно было бы записать это сразу и из теоремы о вириале.

iv) При тепловом излучении полная энергия системы медленно уносится. В этой модели полная энергия отрицательна, и можно сделать некоторые выводы о системе. Если увеличить размеры газового облака, то модуль полной энергии, очевидно, уменьшится. Если увеличить температуру, то модуль полной энергии возрастёт. Этого достаточно, чтобы определить, что из-за теплового излучения температура газового облака будет расти, а его радиус — уменьшаться.

v) В случае плазменного шара и электроны, и протоны могут свободно двигаться. Можно считать, что электроны и протоны создают одинаковое давление. Это эффективно удваивает среднюю энергию одной частицы с \(\dfrac32kT\) до \(3kT\), при этом выражение для гравитационной энергии остаётся прежним. Поэтому \(U=-3\int V\,\mathrm dp=-E_G\), и новый коэффициент пропорциональности между тепловой и гравитационной энергиями равен \(\beta=1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.