Газ, поршень и пружина

Часть энергии газа уходит в энергию сжатой пружины. Энергию пружины можно выразить через температуру конечного состояния: в равновесии сила пружины уравновешивает силу давления газа.

Температура понизилась: \(T_2=\dfrac{T_1}{1+\dfrac{\nu R}{4c}}\), где \(\nu\) — число молей газа (\(\nu R=p_1V_1/T_1\)). Для одного моля \(c=C_V\) и \(T_2=\dfrac{T_1}{1+R/(4C_V)}\); у одноатомного газа \(T_2=\frac67T_1\).

Что происходит. Освобождённый поршень разгоняется газом, сжимает пружину, колеблется и останавливается: энергия колебаний рассеивается в газе. Цилиндр теплоизолирован, вакуум ничего не отбирает, поэтому энергия газа частично переходит в энергию сжатой пружины, и температура падает. Главная идея: закон сохранения энергии для системы газ + поршень + пружина вместе с условием равновесия поршня, которое связывает энергию пружины с температурой в конце.

Обозначения. \(T_1\), \(p_1\), \(V_1\) — начало (поршень закреплён, пружина не деформирована); \(T_2\), \(p_2\), \(V_2=2V_1\) — конец, после остановки поршня; \(S\) — площадь поршня, \(k\) — жёсткость пружины, \(x\) — её сжатие, равное смещению поршня; \(\nu\) — число молей газа: в условии оно не задано, но выражается через начальные параметры, \(\nu R=p_1V_1/T_1\). Внутренняя энергия всего газа \(U=cT\), как сказано в условии.

1. Геометрия. Объём газа вырос на объём, освободившийся при смещении поршня: \(V_2=V_1+Sx=2V_1\), откуда \(Sx=V_1\).

2. Равновесие поршня. В конце поршень покоится, поэтому сила давления газа уравновешена силой упругости пружины (второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось цилиндра при нулевом ускорении): \[p_2S=kx .\]

3. Энергия пружины через температуру. С помощью шагов 1 и 2 и уравнения Менделеева — Клапейрона для конечного состояния, \(p_2V_2=\nu RT_2\): \[E_{\text{пр}}=\frac{kx^2}{2}=\frac{(kx)\,x}{2}=\frac{p_2Sx}{2}=\frac{p_2V_1}{2}=\frac{p_2V_2}{4}=\frac{\nu RT_2}{4}.\]

4. Закон сохранения энергии. Система газ + поршень + пружина теплоизолирована, внешние силы работы не совершают (по другую сторону поршня вакуум, цилиндр неподвижен), теплоёмкости цилиндра и поршня ничтожны. Энергия колебаний поршня за счёт затухания переходит в тепло газа и входит в \(U_2\). Значит, начальная внутренняя энергия газа равна сумме конечной и энергии пружины: \[cT_1=cT_2+\frac{\nu RT_2}{4},\qquad T_2=\frac{T_1}{1+\dfrac{\nu R}{4c}} .\] Через заданные величины: \(\nu R=\dfrac{p_1V_1}{T_1}\), и \[T_2=\frac{T_1}{1+\dfrac{p_1V_1}{4cT_1}}=\frac{4cT_1^2}{4cT_1+p_1V_1} .\]

Обратите внимание: нельзя использовать уравнение адиабаты и работу газа в виде \(p\,\Delta V\). Адиабата — для медленного обратимого процесса, а здесь поршень разгоняется и колеблется. Второе: \(c\) в условии — теплоёмкость всего газа при постоянном объёме, для одного моля это \(C_V\); тогда ответ принимает вид \(T_2=\dfrac{T_1}{1+R/(4C_V)}\) (так в задаче 9 класса этой олимпиады), а для одноатомного газа (\(C_V=\frac32R\)) \(T_2=\frac67T_1\).

Ответ. \(T_2=\dfrac{T_1}{1+\nu R/(4c)}=\dfrac{4cT_1^2}{4cT_1+p_1V_1}\): температура понизилась. Для одного моля \(T_2=\dfrac{T_1}{1+R/(4C_V)}\); одноатомный газ — \(T_2=\frac67T_1\), двухатомный (\(C_V=\frac52R\)) — \(T_2=\frac{10}{11}T_1\).

Проверка. \(\nu R\) и \(c\) — обе в Дж/К, их отношение безразмерно. Предельный случай \(c\to\infty\): энергии пружины хватает от ничтожной доли запаса газа, \(T_2\to T_1\). Числа для одного моля одноатомного газа при \(T_1=300\text{ К}\): \(T_2=257\text{ К}\), энергия пружины \(\dfrac{RT_2}{4}=534\text{ Дж}\) равна убыли внутренней энергии \(\dfrac32R\,(T_1-T_2)=534\text{ Дж}\). Смысл: чем больше теплоёмкость газа, тем меньше он остывает, отдавая одну и ту же энергию пружине.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.