Стержень на проводах в магнитном поле

Пока идёт разряд, стержень не успевает сдвинуться, и сила Ампера сообщает ему импульс; после этого он просто качается. Импульс выражается через заряд, прошедший по стержню.

1) \(\alpha=2\arcsin\dfrac{BlCU}{2m\sqrt{gl_1}}\approx12^\circ\);  2) \(C_1=C_0\dfrac{\sin(\alpha_1/2)}{\sin(\alpha_0/2)}\approx C_0\dfrac{\alpha_1}{\alpha_0}=15\) мкф.

Что происходит. При подключении конденсатора по стержню за очень короткое время проходит весь заряд. На стержень с током в магнитном поле действует сила Ампера, направленная горизонтально, и она сообщает ему горизонтальный импульс — за это время стержень сместиться не успевает. Дальше он качается на проводах как маятник, и высоту подъёма находим из закона сохранения энергии. Главная идея — импульс силы Ампера выражается через прошедший заряд, а скорость стержня оказывается пропорциональна ёмкости.

Обозначения. \(q\) — заряд, прошедший по стержню; \(v\) — скорость стержня сразу после разряда; \(\alpha\) — наибольший угол отклонения проводов от вертикали; \(h\) — высота подъёма стержня.

Пункт 1.

1. Импульс стержня. Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для стержня в проекции на горизонтальную ось, перпендикулярную стержню. Сила Ампера \(F=Bli\) перпендикулярна и стержню, и \(\vec B\) (вектор \(\vec B\) вертикален, ток идёт по стержню), поэтому она горизонтальна; на вертикальные провода с током сила Ампера не действует (ток параллелен \(\vec B\)), а их натяжение вертикально. Разобьём время разряда на малые промежутки \(dt\), пока сила и ток почти постоянны, и сложим импульсы: \[mv=\sum Bl\,i\,dt=Bl\sum i\,dt=Blq.\] Применимо, пока стержень не смещается: время разряда много меньше периода колебаний \(2\pi\sqrt{l_1/g}\approx0{,}6\) с.

2. Заряд. При полном разряде конденсатора \(q=CU\). Отсюда \[v=\frac{BlCU}{m}=\frac{1\cdot0{,}2\cdot10^{-4}\cdot100}{0{,}01}\text{ м/с}=0{,}2\text{ м/с}.\] Обратите внимание: ЭДС индукции в движущемся стержне \(Blv\approx0{,}04\) В ничтожна по сравнению с \(U=100\) В, поэтому она не мешает разряду и весь заряд действительно проходит. Энергию конденсатора \(CU^2/2=0{,}5\) Дж приравнивать к энергии стержня нельзя: кинетическая энергия стержня \(mv^2/2=2\cdot10^{-4}\) Дж, остальное уходит в тепло.

3. Подъём. Провода лёгкие и параллельные, стержень остаётся горизонтальным и движется по дуге радиуса \(l_1\); в наивысшей точке он на мгновение останавливается. Запишем закон сохранения механической энергии для стержня между положением равновесия (сразу после разряда) и положением наибольшего отклонения (рисунок: угол для наглядности увеличен); высота подъёма \(h=l_1(1-\cos\alpha)\): \[\frac{mv^2}{2}=mgl_1(1-\cos\alpha),\qquad 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac\alpha2=\frac{v^2}{2gl_1}.\] Отсюда \(\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{v}{2\sqrt{gl_1}}\), и \[\alpha=2\arcsin\frac{BlCU}{2m\sqrt{gl_1}}=2\arcsin\frac{0{,}2}{2\sqrt{9{,}8\cdot0{,}1}}=2\arcsin0{,}10\approx11{,}6^\circ\approx12^\circ.\]

Пункт 2. Из пункта 1 при тех же \(B\), \(l\), \(U\), \(m\), \(l_1\) получаем, что \(\sin\dfrac\alpha2\) пропорционален ёмкости \(C\). Запишем это для двух конденсаторов: \[\sin\frac{\alpha_0}2=kC_0,\qquad \sin\frac{\alpha_1}2=kC_1,\qquad k=\frac{BlU}{2m\sqrt{gl_1}}.\] Делим одно на другое: \[C_1=C_0\frac{\sin(\alpha_1/2)}{\sin(\alpha_0/2)}=10\cdot\frac{\sin1{,}5^\circ}{\sin1^\circ}\text{ мкф}=15\text{ мкф}.\] Углы малы, \(\sin x\approx x\), поэтому \(C_1=C_0\dfrac{\alpha_1}{\alpha_0}=10\cdot\dfrac32=15\) мкф (график: \(\alpha(C)\) почти прямая).

Ответ: 1) \(\alpha\approx12^\circ\);  2) \(C_1=15\) мкф.

Проверка. Размерность: \(Blq/m\) — (Тл\(\cdot\)м\(\cdot\)Кл)/кг; Тл \(=\) Н\(/(\)А\(\cdot\)м), значит (Н\(/(\)А\(\cdot\)м\()\cdot\)м\(\cdot\)А\(\cdot\)с)/кг \(=\) Н\(\cdot\)с/кг \(=\) м/с. Второй способ: при малых углах \(\alpha\approx\dfrac{v}{\sqrt{gl_1}}=\dfrac{0{,}2}{0{,}99}\text{ рад}=0{,}20\text{ рад}=11{,}6^\circ\) — тот же результат. Предельный случай \(C\to0\): заряда нет, \(\alpha\to0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.