Атом Томсона

Минимальная энергия — это работа против силы притяжения при медленном перемещении электрона из центра на бесконечность. Путь разбивается на две части: внутри шара и снаружи.

\(R=\dfrac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0 W}\) (в системе СГС \(R=\dfrac{3e^2}{2W}\)). Для водорода, \(W=13{,}6\) эВ, \(R\approx 1{,}6\cdot10^{-10}\text{ м}\).

Что происходит. Положительный заряд \(+e\) размазан по шару радиуса \(R\), электрон сидит в его центре. Чтобы увести электрон далеко, надо двигать его против силы притяжения: сначала внутри шара, где эта сила растёт от нуля вместе с расстоянием, затем снаружи, где шар действует как точечный заряд \(+e\). Минимальная энергия \(W\) — это работа внешней силы при очень медленном перемещении: в конце электрон покоится далеко от атома, и никакой кинетической энергии мы ему не сообщаем. Главная идея — найти силу притяжения на каждом расстоянии \(r\) и просуммировать работу по всему пути.

Обозначения. \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\); \(r\) — расстояние электрона от центра шара \(O\); \(q(r)\) — заряд части шара внутри сферы радиуса \(r\). Шар считаем неподвижным и не искажающимся, собственное поле электрона на него не действует.

1. Сила внутри шара. Заряд распределён равномерно, поэтому \(q(r)\) пропорционален объёму: \(q(r)=e\left(\dfrac rR\right)^3\). Запишем теорему Гаусса для сферы радиуса \(r<R\) с центром в \(O\) (по симметрии поле на ней одинаково по модулю и направлено по радиусу): \[E\cdot4\pi r^2=\frac{q(r)}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{k\,q(r)}{r^2}=\frac{ke\,r}{R^3}.\] На электрон действует сила притяжения к центру \(F=eE=\dfrac{ke^2}{R^3}\,r\): она пропорциональна \(r\).

2. Работа внутри шара. Электрон тянем медленно, поэтому сила внешнего воздействия равна по модулю \(F(r)\) в каждой точке. Рассмотрим малый шаг \(dr\): работа \(dA=F\,dr\). Суммируем от центра до поверхности (\(r\) от \(0\) до \(R\)): \[A_2=\int\limits_0^R\frac{ke^2}{R^3}\,r\,dr=\frac{ke^2}{2R}.\]

3. Работа снаружи. Вне шара (\(r>R\)) теорема Гаусса даёт поле точечного заряда \(+e\), сила \(F=\dfrac{ke^2}{r^2}\). Суммируем от поверхности до бесконечности: \[A_1=\int\limits_R^{\infty}\frac{ke^2}{r^2}\,dr=\frac{ke^2}{R}.\]

На графике сила \(F(r)\): работа — площадь под графиком, \(A_2\) — треугольник слева от \(R\), \(A_1\) — область справа. В точке \(r=R\) обе формулы дают одно значение \(ke^2/R^2\), график непрерывен; площадь \(A_1\) вдвое больше площади \(A_2\).

4. Энергия удаления. Полная работа равна минимальной энергии: \[W=A_1+A_2=\frac32\cdot\frac{ke^2}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{3ke^2}{2W}=\frac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0W}.\]

Обратите внимание: если считать, что вся работа совершается в поле точечного заряда (как будто сила растёт как \(1/r^2\) вплоть до центра), получится \(W=ke^2/R\) и радиус в полтора раза больше. Внутри шара сила не растёт к центру, а обращается в нуль, и это добавляет ещё половину.

Подставим числа для водорода: \(W=13{,}6\) эВ \(=2{,}18\cdot10^{-18}\text{ Дж}\), \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\text{ Кл}\), \(k=9\cdot10^{9}\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\): \[R=\frac{3\cdot9\cdot10^{9}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{2\cdot2{,}18\cdot10^{-18}}\text{ м}\approx1{,}6\cdot10^{-10}\text{ м}.\]

Ответ: \(R=\dfrac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0W}\) (в СГС \(R=\dfrac{3e^2}{2W}\)); для водорода \(R\approx1{,}6\cdot10^{-10}\text{ м}\) — порядка размера атома.

Проверка. Размерность: \(ke^2/W\) — это (Дж\(\cdot\)м)/Дж \(=\) м. Второй способ: потенциал в центре равномерно заряженного шара \(\varphi(0)=\dfrac{3ke}{2R}\) (известный результат), работа по удалению электрона \(e\varphi(0)=\dfrac{3ke^2}{2R}=W\) — совпадает. Физический смысл: чем меньше шар, тем крепче электрон связан, поэтому \(R\propto1/W\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.