Разрезанная линза

Освещённость — это поток света, делённый на площадь изображения. Посмотрите, как меняется каждая из двух величин: поток зависит от площади отверстия линзы, а размер изображения Солнца — от фокусного расстояния.

Освещённость изображения увеличится в \(2\) раза.

Что происходит. Солнце так далеко, что лучи от каждой его точки идут на линзу параллельным пучком, и изображение — маленький диск в фокальной плоскости. Разрезанная и сложенная линза пропускает вдвое меньше света, но и фокусное расстояние у неё вдвое меньше, а значит, изображение стало намного меньше. Главная идея — сравнить, как изменились поток и площадь изображения, и взять их отношение.

Обозначения. Индекс 1 — целая линза, индекс 2 — составная. \(A\) — площадь отверстия целой линзы, \(F\) — её фокусное расстояние, \(\Phi\) — световой поток через линзу, \(S\) — площадь изображения, \(E=\Phi/S\) — освещённость изображения, \(\alpha\) — угловой диаметр Солнца.

1. Освещённость и поток. По определению \(E=\Phi/S\), поэтому \[\frac{E_2}{E_1}=\frac{\Phi_2}{\Phi_1}\cdot\frac{S_1}{S_2}.\] Солнечный свет падает на любую часть линзы с одинаковой плотностью потока, поэтому поток пропорционален площади отверстия. Составная линза — две половинки круга, лежащие друг на друге, и её отверстие — половина круга: \(\Phi_2/\Phi_1=\tfrac12\).

2. Размер изображения. Лучи от каждой точки Солнца идут параллельным пучком и собираются в фокальной плоскости. Рассмотрим луч от края Солнца, идущий через оптический центр тонкой линзы: он не преломляется. Лучи от противоположных краёв Солнца идут под углом \(\alpha\) друг к другу, поэтому радиус изображения (рисунок: угол \(\alpha\) сильно увеличен) \[r=F\tan\frac\alpha2\approx F\frac\alpha2,\qquad S=\pi r^2\propto F^2,\] угол \(\alpha\approx30'\) мал.

3. Фокусное расстояние составной линзы. Каждая половинка сохраняет оптическую силу целой линзы, то есть имеет фокусное расстояние \(F\). Две тонкие линзы, сложенные вплотную, дают оптическую силу, равную сумме сил: луч, вышедший из фокуса первой, после неё идёт параллельно оси, а вторая собирает его в своём фокусе, откуда \[\frac1{F'}=\frac1F+\frac1F\quad\Rightarrow\quad F'=\frac F2.\] Поэтому радиус изображения вдвое меньше, а площадь — вчетверо: \(S_1/S_2=(F/F')^2=4\).

4. Отношение освещённостей. \[\frac{E_2}{E_1}=\frac12\cdot4=2.\]

Обратите внимание: светового потока стало вдвое меньше, но освещённость не упала, а выросла — изображение уменьшилось сильнее, чем поток. Изображение Солнца при этом нужно принимать на экран, переставленный в новую фокальную плоскость на расстоянии \(F/2\) от линзы.

Ответ: освещённость изображения Солнца увеличится в \(2\) раза.

Проверка. Второй способ: освещённость изображения далёкого источника пропорциональна \(A_{\text{отв}}/F^2\) (отверстие делить на квадрат фокусного расстояния). Для составной линзы \(A_{\text{отв}}=A/2\), \(F'=F/2\), значит \(\dfrac{A/2}{(F/2)^2}=2\dfrac A{F^2}\) — вдвое больше. Предельный случай: если бы линзу не разрезали, а лишь сложили заново (\(\Phi_2=\Phi_1\), \(F'=F\)), отношение равнялось бы \(1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.