Две катушки: ток в замкнутой

ЭДС индукции во второй катушке пропорциональна не току первой, а скорости его изменения. Что даёт наклонный участок графика, а что — горизонтальный?

Пока ток первой катушки растёт (\(0<t<t_0\)), во второй течёт постоянный ток \(I_2=\dfrac{M}{R}\,\dfrac{I_0}{t_0}\), направленный против тока \(I_1\) (\(I_0\) — ток первой катушки после момента \(t_0\), \(M\) — взаимная индуктивность катушек, \(R\) — сопротивление второй); при \(t>t_0\) ток во второй катушке равен нулю. График — прямоугольный импульс (самоиндукцией второй катушки пренебрегаем).

Что происходит. Ток первой катушки создаёт магнитное поле, пропорциональное \(I_1\), и часть этого поля пронизывает вторую катушку. По закону электромагнитной индукции (закону Фарадея) ЭДС во второй катушке равна скорости изменения магнитного потока через неё, взятой с обратным знаком. Пока ток растёт равномерно, поток растёт равномерно, ЭДС постоянна — и ток во второй катушке постоянен. Когда ток первой катушки перестаёт меняться, поток постоянен, ЭДС равна нулю, и ток во второй катушке прекращается, хотя ток в первой по-прежнему течёт.

Обозначения. \(I_0\) — ток первой катушки при \(t>t_0\), \(t_0\) — момент, когда рост прекратился; \(\Phi\) — магнитный поток через вторую катушку (через все её витки), \(M\) — взаимная индуктивность: \(\Phi=MI_1\); \(R\) — сопротивление второй катушки, \(L_2\) — её индуктивность (пока считаем её малой, см. замечание).

1. Поток. Магнитная индукция поля первой катушки в каждой точке пропорциональна току \(I_1\) (закон Био — Савара), поэтому и поток через вторую катушку пропорционален току: \(\Phi=MI_1\). Коэффициент \(M\) зависит только от размеров, числа витков и взаимного расположения катушек.

2. ЭДС индукции. По закону Фарадея \[\mathcal{E}_2=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=-M\,\frac{\Delta I_1}{\Delta t}.\] На участке \(0<t<t_0\) ток растёт линейно, \(\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}=\dfrac{I_0}{t_0}=\text{const}\), и \(|\mathcal{E}_2|=M\dfrac{I_0}{t_0}\) — постоянна. При \(t>t_0\) ток не меняется, \(\mathcal{E}_2=0\).

3. Ток во второй катушке. Катушка замкнута накоротко: закон Ома для замкнутой цепи с ЭДС \(\mathcal{E}_2\) и сопротивлением \(R\) даёт \[I_2=\frac{|\mathcal{E}_2|}{R}=\frac{M}{R}\,\frac{I_0}{t_0}\quad(0<t<t_0),\qquad I_2=0\quad(t>t_0).\]

4. Направление. По правилу Ленца индукционный ток создаёт поле, мешающее росту потока: при \(0<t<t_0\) ток \(I_2\) течёт в направлении, противоположном \(I_1\) (витки катушек обходятся в разные стороны), и его поле внутри второй катушки направлено против поля первой.

5. График. Ток второй катушки — прямоугольный импульс: постоянное значение \(\dfrac{MI_0}{Rt_0}\) от \(0\) до \(t_0\) и нуль дальше.

Обратите внимание: ток \(I_2\) определяется не величиной тока \(I_1\), а скоростью его изменения — после \(t_0\) ток в первой катушке самый большой, а во второй его нет вовсе. Второе: мгновенные скачки \(I_2\) при \(t=0\) и \(t=t_0\) — идеализация. У второй катушки есть собственная индуктивность \(L_2\), и ток в ней не может измениться скачком: он нарастает по закону \(I_2=\dfrac{MI_0}{Rt_0}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\) и после \(t_0\) спадает как \(e^{-(t-t_0)/\tau}\) с постоянной времени \(\tau=L_2/R\) (пунктир на графике). Прямоугольник — ответ при \(\tau\ll t_0\).

Ответ. При \(0<t<t_0\) во второй катушке течёт постоянный ток \(I_2=\dfrac{M}{R}\,\dfrac{I_0}{t_0}\), направленный против \(I_1\); при \(t>t_0\) ток равен нулю.

Проверка. Размерность: \(M\) в генри, \(\dfrac{\text{Гн}\cdot\text{А/с}}{\text{Ом}}=\dfrac{\text{В}}{\text{Ом}}=\text{А}\). Второй способ — заряд, прошедший по второй катушке за всё время: \(q=I_2t_0=\dfrac{MI_0}{R}=\dfrac{\Delta\Phi}{R}\) — известный результат для заряда через замкнутый контур при изменении потока; он не зависит от \(t_0\), хотя сам ток ему обратно пропорционален: чем быстрее включают ток, тем больше, но короче импульс. Предел \(t_0\to0\) (ток включили мгновенно): \(I_2\to\infty\), но заряд \(q\) прежний; с учётом \(L_2\) ток ограничен величиной \(MI_0/L_2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.