В сосуде с поршнем
5/10Герметичный цилиндрический теплоизолированный сосуд массой \(M\) разделён на две одинаковые части тонким теплопроводящим поршнем массой \(M\), который может скользить вдоль оси сосуда без трения. В начальный момент в каждой из частей сосуда находится в состоянии теплового равновесия \(\nu\) молей идеального одноатомного газа при температуре \(T_0\). Сосуд покоится в некоторой инерциальной системе отсчёта в космосе вдали от других тел. Сосуду толчком сообщают скорость \(v\), направленную вдоль его оси. После затухания колебаний поршня в сосуде температура газа изменяется на \(\Delta T\). Найдите отношение \(n = \dfrac{\Delta T}{T_0}\) изменения температуры в сосуде к начальной температуре, если параметры задачи связаны соотношением \(Mv^2 = 2\nu R T_0\), где \(R\) — универсальная газовая постоянная. В ответе на вопрос задачи укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСосуд изолирован и внешних сил нет, поэтому сохраняются импульс и энергия. Какая часть кинетической энергии сохранится в системе центра масс после затухания колебаний, а какая перейдёт в тепло?
Нагреватель в баллоне с газом
3/10Нагреватель по закону Джоуля — Ленца выделяет тепло при постоянном объёме, оно целиком идёт на внутреннюю энергию одноатомного газа 3/2·ΔpV; найти объём баллона.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газ с процессом pV³=const
3/10По уравнению процесса и U ∝ pV найти, во сколько раз меняется внутренняя энергия при расширении.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Нагрев газа в двух сосудах
3/10Одинаковые объёмы, температуры и разные давления (числа молей 2:1); одинаковая теплота в изохорном процессе одноатомного газа Q = (3/2)νRΔT связывает конечные температуры и начальную.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гелий и азот по разные стороны поршня
5/10Теплопроводящий поршень в теплоизолированном цилиндре отпускают, когда давления равны: суммарная внутренняя энергия гелия и азота сохраняется; через уравнение состояния и отношение чисел молей находят конечные объёмы и давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Плотность газа по графику U(p)
4/10Внутренняя энергия и давление идеального газа изменялись в соответствии с приведенным графиком. Определите, увеличивалась или уменьшалась плотность газа на участках 1-2 и 2-3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВнутренняя энергия газа пропорциональна произведению \(pV\). Проведите из начала координат лучи в точки графика и сравните их наклоны.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветНа участке 1-2 плотность газа увеличивалась; на участке 2-3 плотность газа уменьшалась.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеДвижение вдоль 1-2 можно рассматривать как переход с изохоры на изохору, соответствующую всё меньшему и меньшему значению объёма (\(V_1 > V'\), \(V' > V_2\)). Значит, на участке 1-2 плотность газа увеличивается. На участке 2-3, очевидно, плотность газа уменьшается, поскольку это изобара, вдоль которой температура растёт, а объём, следовательно, увеличивается.
Добавка гелия и адиабатное сжатие
5/10В цилиндрическом теплоизолированном сосуде объемом \(V = 33{,}6\) дм\(^3\) под поршнем находится \(\nu = 2{,}0\) моль гелия при температуре \(T_1 = 300\) К. В сосуд добавляют еще \(m = 4{,}0\) г гелия при температуре \(T_2 = 500\) К, и после выравнивания температур содержимое адиабатически сжимают, совершая над ним работу \(A = 2{,}0\) кДж. Какая температура \(T\) установится в сосуде в конечном состоянии? \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСколько молей составляют 4 г гелия? Система теплоизолирована, поэтому вся внутренняя энергия конечного состояния складывается из энергий обеих порций газа и работы сжатия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеС учетом молярной массы гелия количество добавленного газа равно \(\nu/2 = 1\) моль. Так как система теплоизолирована, по первому закону термодинамики \[\frac{3}{2}\nu R T_1 + \frac{3}{2}\frac{\nu}{2} R T_2 + A = \frac{3}{2}\frac{3}{2}\nu R T,\] откуда \(T = \dfrac{1}{3}\left(2T_1 + T_2 + \dfrac{4A}{3\nu R}\right) = 420\) К.
Газ расширяется в вакуум с пружиной
5/10В теплоизолированном цилиндре слева от поршня находится один моль идеального одноатомного газа, справа "— вакуум. В начальный момент поршень закреплён и пружина недеформирована. Затем поршень отпускают, и газ занимает объём, вдвое больший первоначального. Во сколько раз изменятся температура и давление газа в новом состоянии равновесия? Теплоёмкостями поршня и цилиндра пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКуда уходит энергия газа? Свяжите работу газа с энергией сжатой пружины и выразите её через конечные давление и объём.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТемпература уменьшится: \(T_2/T_1 = 6/7\); давление: \(p_2/p_1 = 3/7\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗапишем первое начало термодинамики: \[Q = \Delta U + A \quad\Longrightarrow\quad 0 = c_V (T_2 - T_1) + \frac{kx^2}{2},\] где \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), \(T_2\) "— конечная температура, \(T_1\) "— начальная температура, \(x\) "— деформация пружины в конечном состоянии, \(k\) "— жёсткость пружины.
Поршень в конечном состоянии находится в равновесии, следовательно, \(p_2 S = kx\), где \(p_2\) "— давление газа в конечном состоянии, \(S\) "— площадь поршня.
Преобразуем данное уравнение: \[p_2 S = kx \Rightarrow p_2 S x = kx^2 \Rightarrow \frac{p_2 \Delta V}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_1}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{kx^2}{2},\] где \(\Delta V\) "— изменение объёма, \(V_1\) "— начальный объём газа, \(V_2\) "— конечный объём газа.
Из уравнения состояния следует: \[\frac{kx^2}{2} = \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{RT_2}{4}.\] Следовательно, \[0 = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) + \frac{RT_2}{4} \;\Longrightarrow\; \frac{T_2}{T_1} = \frac{6}{7} \;\Longrightarrow\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{V_2}\cdot\frac{V_1}{T_1} = \frac{3}{7}.\]
Смешивание газов в теплоизолированном сосуде
3/10После прорыва перегородки в теплоизолированном сосуде два газа смешиваются без работы; сохранение внутренней энергии даёт температуру смеси, закон Дальтона и уравнение состояния — давление. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Смешение двух порций газа
3/10Два отсека с газом при разных T и p соединяют; сохранение внутренней энергии и числа молей даёт конечные температуру и давление.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Аргон в двух частях сосуда
3/10Одну часть квазистатически нагревают, в другой температура постоянна; по росту давления в n раз найти конечные температуры и приращение внутренней энергии.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Цикл из изохор и адиабат: подведённое тепло
4/10Цикл из двух изохор и двух адиабат для одноатомного газа: в адиабатах работа равна убыли внутренней энергии, поэтому изменения температуры в адиабатах связаны и заданы (ΔT1 и ΔT1/2); тепло изохорного нагревания Q = (3/2)νRΔT выражается через ΔT1 и ΔT2, либо ищется отношение изменений температуры по работе, теплу и КПД. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Смесь газов с разной молярной теплоёмкостью
4/10Теплоизолированный сосуд с перегородкой: одноатомный газ и двухатомный (с заданной Cv) смешиваются при прорыве перегородки; температура — из сохранения суммы внутренних энергий с разными Cv, давление — из закона Дальтона. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Смешивание гелия и азота
4/10После открытия крана газы смешиваются в теплоизолированной системе; сохранение внутренней энергии при разных теплоёмкостях даёт общую температуру и итоговое давление или отношение молей (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газы в двух сосудах
4/10Два газа с разными числами степеней свободы смешиваются в теплоизолированных сосудах; сохранение энергии даёт давление смеси или отношение чисел молей (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газы по обе стороны теплопроводящего поршня
4/10Два газа в теплоизолированном сосуде разделены подвижным теплопроводящим поршнем, давления равны; отношение объёмов равно отношению температур, конечная температура — из сохранения энергии, переданная теплота — через изменение внутренней энергии. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поршень в трубе со смесью газов
4/10Кинетическая энергия поршня после удара превращается во внутреннюю энергию смеси двух газов (разные i у одноатомного и двухатомного) и работу против атмосферы, поскольку давление постоянно; по нагреву найти скорость (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Перезарядка конденсаторов
5/10Конденсаторы поочерёдно соединяют через ключ; на каждом цикле разность напряжений падает в постоянное число раз (геометрическая прогрессия, сохранение заряда); найти ёмкость C, установившееся напряжение и выделившееся на резисторе тепло.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гелий и поршень с пружиной
5/10Отпущенный поршень растягивает газ до равновесия с пружиной без теплообмена; баланс энергии газа и пружины, условие равновесия и уравнение состояния дают конечную температуру.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Гелий под поршнем в вакуумной камере
5/10Поршень отпускают: газ без теплообмена расширяется и поршень поднимается до равновесия; из закона сохранения энергии (работа против внешнего давления и силы тяжести, внутренняя энергия гелия) найти конечную температуру.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Откачка гелия при водяном паре за поршнем
5/10Давление насыщенного пара постоянно, поршень в равновесии; откачка гелия смещает поршень, испаряется часть воды, а приращение внутренней энергии «вода+пар» через теплоту парообразования и работу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Процессы в сосуде
6/10Два отсека с азотом: первый быстро нагревают, второй отделён подвижным поршнем от атмосферы; из первого закона и постоянства давления во втором отсеке связать изменение суммарной внутренней энергии с изменением энергии первого отсека после выравнивания температур.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Газ под поршнем при скачках давления
6/10Внешнее давление скачком падает, а затем возвращается; газ переходит между состояниями необратимо, и из энергетического баланса с работой внешнего давления находится изменение объёма.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Сосуд с поршнем, воздух и насыщенный пар при переворачивании
6/10В термостате при 373 К над поршнем насыщенный пар с водой, под ним воздух; после переворачивания давление воздуха меняется на вес поршня, пар частично конденсируется или вода испаряется; найти новый объём воздуха, изменение массы воды и внутренней энергии. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Расширение газа в цилиндр с поршнем
6/10Газ расширяется в вакуум (температура не меняется), затем отпущенный поршень совершает работу против внешнего давления; первое начало с балансом энергии поршня даёт конечную температуру и смещение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.