Сколько раз ударится мяч

Неподвижно лежащий мяч деформируется под действием собственного веса (см. рис. 1.166). При подпрыгиваниях мяча, начиная с некоторого момента, его центр масс приподнимается над своим равновесным положением на столь малую высоту, что оболочка уже не отрывается от пола. Поскольку при каждом ударе мяча об пол в тепло переходит половина его энергии, то высота подскоков при этом уменьшается в 2 раза, то есть высота подскока после \(n\)-го удара составляет \(h_n = (1/2)^nH\).

Так как деформация мяча при ударах невелика, то можно считать, что не касающаяся пола часть поверхности мяча по-прежнему сферическая, а место касания площадью \(S\) становится плоским. Запишем условие равновесия неподвижно лежащего мяча: \(\Delta pS = mg\). Заметим, что \[S = \pi R^2\sin^2\alpha = \pi R^2\cdot\dfrac{R^2 - (R - \Delta h)^2}{R^2} \approx 2\pi R\Delta h,\] где \(\Delta h\) — статическая деформация лежащего мяча. Отсюда \(\Delta h = \dfrac{mg}{2\pi R\Delta p} \approx 0{,}16\) мм \(\ll R\), то есть записанное выше приближённое равенство справедливо.

Вычислим теперь величины высот подскоков \(h_n\) мяча после \(n\)-го удара и сравним их с величиной статической деформации \(\Delta h\). Расчёты показывают, что \(h_{13} \approx 0{,}12\) мм \(< \Delta h < h_{12} \approx 0{,}24\) мм. Отсюда следует, что мяч подпрыгнет 12 раз, а ударится о пол 13 раз.