Колобок под дождём

Масса воды \(m\), попавшей на Колобка, зависит от скорости \(v_{\text{отн}}\) капель дождя относительно него и времени движения \(t\) от \(A\) до \(B\): \(m \sim v_{\text{отн}}t = v_{\text{отн}}\dfrac{|AB|}{u}\), где \(u\) — скорость Колобка. В соответствии с правилом сложения скоростей, \(v_{\text{отн}} = \sqrt{V^2 + v^2 + u^2 - 2uv\cos\varphi}\), поэтому \[m \sim \sqrt{\dfrac{V^2 + v^2 + u^2 - 2uv\cos\varphi}{u^2}} \sim\] \[\sim \sqrt{\dfrac{V^2 + v^2}{u^2} - \dfrac{2v\cos\varphi}{u} + \dfrac{v^2\cos^2\varphi}{V^2 + v^2} + 1 - \dfrac{v^2\cos^2\varphi}{V^2 + v^2}} \sim\] \[\sim \sqrt{(V^2 + v^2)\left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{v\cos\varphi}{V^2 + v^2}\right)^2 + 1 - \dfrac{v^2\cos^2\varphi}{V^2 + v^2}}.\] Отсюда следует, что при \(|\varphi| < \pi/2\) искомая скорость, при которой Колобок меньше всего промокнет, равна \(u = \dfrac{V^2 + v^2}{v\cos\varphi}\).

При \(|\varphi| > \pi/2\) величина \(\cos\varphi < 0\), минимума у функции \(m(u)\) при \(u > 0\) нет, и Колобку выгодно бежать как можно быстрее.