Тележка въезжает на плоскость

Рассмотрим соударение передней пары колёс с наклонной плоскостью. Поскольку удар неупругий, то в момент удара колёс о плоскость сохраняется проекция импульса тележки на эту плоскость: \[2Mv\cos\alpha = Mv_1' + Mv_2'\cos\alpha,\] где \(v_1'\) и \(v_2'\) — скорости передней и задней пар колёс после рассматриваемого удара. Поскольку длина стержня не меняется, то \(v_1'\cos\alpha = v_2'\), и \(v_1' = \dfrac{2v\cos\alpha}{1 + \cos^2\alpha}\). Далее передняя пара колёс тележки движется по наклонной плоскости, а задняя — по горизонтальной. Скорость передней пары колёс \(u_1\) перед вторым ударом, когда стержень располагается параллельно наклонной плоскости, можно найти из закона сохранения механической энергии, учитывая, что скорость задней пары колёс в этот момент направлена горизонтально и равна \(u_2 = u_1/\cos\alpha\): \[\dfrac{M(v_1')^2}{2} + \dfrac{M(v_1'\cos\alpha)^2}{2} = \dfrac{Mu_1^2}{2} + \dfrac{M(u_1/\cos\alpha)^2}{2} + Mgl\sin\alpha.\] Соударение задней пары колёс с наклонной плоскостью рассматривается аналогично первому удару: \(Mu_1 + Mu_2\cos\alpha = 2Mu\). Отсюда следует, что после второго удара скорость \(u\) обеих пар колёс будет одинакова, направлена вдоль наклонной плоскости и равна \[u = u_1 = \sqrt{\dfrac{4\cos^4\alpha}{(1 + \cos^2\alpha)^2}v^2 - \dfrac{2\sin\alpha\cos^2\alpha}{1 + \cos^2\alpha}gl}.\] Для того, чтобы тележка полностью въехала на плоскость, подкоренное выражение в последнем соотношении должно быть неотрицательным, то есть начальная скорость тележки должна удовлетворять условию \(v \geqslant \sqrt{\dfrac{\sin\alpha(1 + \cos^2\alpha)}{2\cos^2\alpha}gl}\).