Тепло при переключении ключа

Нарисуем эквивалентную схему соединения конденсаторов до переключения ключа (см. рис. 3.31) и обозначим заряды конденсаторов через \(q_1/2\), \(q_1/2\) и \(q_2\) — так, как показано на рисунке.

Пусть суммарный заряд на обкладках 1, 2 и 3 равен \(q\) до переключения и \(q'\) после переключения ключа. Тогда \[q_1 - q_2 = q,\qquad \dfrac{q_1}{2C} + \dfrac{q_2}{C} = \mathcal{E}.\] Отсюда \[q_1 = \dfrac{2(C\mathcal{E} + q)}{3},\qquad q_2 = \dfrac{2C\mathcal{E} - q}{3}.\] До переключения ключа \(q = 0\), и \(q_1 = q_2 = 2C\mathcal{E}/3\). После переключения ключа, очевидно, \(q' = -q_2 = -2C\mathcal{E}/3\). Поэтому \[q_1' = \dfrac{2(C\mathcal{E} + q')}{3} = \dfrac{2}{9}C\mathcal{E},\qquad q_2' = \dfrac{2C\mathcal{E} - q'}{3} = \dfrac{8}{9}C\mathcal{E}.\] Следовательно, после переключения ключа через батарею протечёт заряд \[\Delta q_2 = q_2' - q_2 = 2C\mathcal{E}/9,\] а источник при этом совершит работу \[A = \Delta q_2\cdot\mathcal{E} = 2C\mathcal{E}^2/9.\] Энергия, запасённая в конденсаторах до переключения ключа, равна \[W_1 = 2\cdot\dfrac{(q_1/2)^2}{2C} + \dfrac{q_2^2}{2C} = \dfrac{1}{3}C\mathcal{E}^2,\] а после переключения ключа \[W_2 = 2\cdot\dfrac{(q_1'/2)^2}{2C} + \dfrac{q_2'^2}{2C} = \dfrac{11}{27}C\mathcal{E}^2,\] Поэтому количество теплоты, которое выделится в схеме после переключения ключа из левого положения в правое, равно \[Q = A - (W_2 - W_1) = \dfrac{4}{27}C\mathcal{E}^2.\]