Схлопывание полости

Вода несжимаема, а в полости давление нулевое: против полости работа не совершается. Всё определяет работа поршня за то время, пока полость исчезает. Поле скоростей воды искать не нужно.

\(E_k=PV\).

Что происходит. Давление в полости практически нулевое, поэтому ничто не мешает воде схлопывать её под действием давления поршня. Вода движется сложно (вблизи полости быстрее, у стенок медленнее), но искать поле скоростей не нужно: достаточно закона сохранения энергии для воды между начальным состоянием и моментом, когда полость исчезнет.

Обозначения. \(S\) — площадь поршня, \(h\) — на сколько он опустился к моменту схлопывания, \(E_k\) — кинетическая энергия воды. Поршень считаем невесомым (он лишь передаёт постоянное давление \(P\)).

1. На сколько опустился поршень. Вода несжимаема, а объём полости ушёл целиком, поэтому объём, занятый водой и полостью, уменьшился на \(V\), то есть \(Sh=V\).

2. Работа внешних сил. Закон сохранения энергии для воды: изменение её кинетической энергии равно работе сил, действующих на воду. Сила тяжести не учитывается, стенки цилиндра неподвижны и работы не совершают. Поршень давит с постоянной силой \(PS\) и смещается на \(h\): \[A=PSh=PV.\] Давление в полости равно нулю, поэтому работа на её границе также нулевая. Внутренняя энергия воды не меняется (вода несжимаема, трения нет).

3. Энергия воды. Вода начинала покоиться: \[E_k=A=PV.\]

Обратите внимание: не нужно считать, как движется вода и какую скорость имеют её разные частицы. Энергия, выделившаяся при схлопывании, равна \(PV\) независимо от формы полости и положения в цилиндре (кроме того, что она не касается стенок).

Ответ. В буквах: \(E_k=PV\); в числах, например для \(P=10^5\text{ Па}\), \(V=1\text{ см}^3\): \(E_k=10^5\cdot10^{-6}=0{,}1\text{ Дж}\).

Проверка. Размерность: \(\text{Па}\cdot\text{м}^3=\text{Н}\cdot\text{м}=\text{Дж}\). Предельные случаи: \(V\to0\) или \(P\to0\) дают \(E_k\to0\). Второй способ: Рэлей для сферической полости радиуса \(R_0\) в большом объёме воды: расчёт кинетической энергии воды в момент схлопывания даёт \(P\cdot\tfrac43\pi R_0^3=PV\) — то же значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.