Движущийся кубик

Считайте время по трём участкам нижнего пути: воздух, стекло, воздух. Скорость света в движущемся стекле относительно стола находится по закону сложения скоростей с точностью до первого порядка по \(u/c\). Расстояния в воздухе в итоговой разности времён сократятся.

\(\Delta t=\dfrac{lu}{c^2}\left(\dfrac{c}{v}-1\right)=\dfrac{lu\,(c-v)}{c^2\,v}\) (кубик движется по ходу света; при движении навстречу свет придёт позже на ту же величину).

Что происходит. Нижний путь состоит из воздуха, стекла и снова воздуха. Кубик \(B\) убегает от света по ходу луча: передняя грань отодвигается, и свету до неё лететь дольше; внутри стекла скорость света относительно стола другая, чем в неподвижном; задняя грань тоже убегает. Нужно сложить эти три эффекта. Ключевой закон — закон сложения скоростей для света в движущейся среде; считаем в первом порядке по малому \(u/c\).

Обозначения. Ось \(x\) вдоль луча, время \(t=0\) — момент выхода света из источника (пути до кубиков одинаковы, и без движения кубиков свет приходит на экран одновременно). \(x_1\) — положение передней грани \(B\) в момент \(t=0\) выхода света, \(X\) — положение экрана; \(n=c/v\). Кубик движется вправо со скоростью \(u\ll c\). \(T_0\) — время пути при покоящемся кубике, \(T\) — при движущемся, искомое \(\Delta t=T_0-T\).

1. Покой. Воздух, стекло, воздух: \[T_0=\frac{x_1}{c}+\frac{l}{v}+\frac{X-x_1-l}{c}.\]

2. Скорость света в движущемся стекле. В системе кубика свет в стекле имеет скорость \(v\) (в этой системе стекло покоится). В системе стола по закону сложения скоростей теории относительности \[w=\frac{v+u}{1+vu/c^2}\approx v+u\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right).\] Простое «\(v+u\)» неверно: оно давало бы эффект и для «стекла» с \(v=c\), то есть для пустоты.

3. Свет доходит до передней грани. Грань в момент \(t\) находится в точке \(x_1+ut\), свет летит со скоростью \(c\): \(ct_1=x_1+ut_1\), откуда \(t_1=\dfrac{x_1}{c-u}\).

4. Свет в стекле. К моменту \(t_1\) свет входит в стекло, дальше он обгоняет заднюю грань. За время \(\tau\) свет проходит \(w\tau\), задняя грань — \(u\tau\), и свет догоняет её, когда разность равна длине кубика \(l\) (сокращением длины \(\sqrt{1-u^2/c^2}\) пренебрегаем: оно второго порядка): \[(w-u)\tau=l,\qquad \tau=\frac{l}{w-u}\approx\frac{l}{v}\left(1+\frac{uv}{c^2}\right).\]

5. Выход и экран. К моменту выхода \(t_2=t_1+\tau\) задняя грань в точке \(x_1+l+ut_2\), до экрана остаётся \(X-x_1-l-ut_2\), время пути в воздухе — это расстояние, делённое на \(c\). Полное время \[T=t_2+\frac{X-x_1-l-ut_2}{c}=t_2\left(1-\frac uc\right)+\frac{X-x_1-l}{c}.\] Подставляем \(t_2=\dfrac{x_1}{c-u}+\tau\); так как \(\dfrac{x_1}{c-u}\left(1-\dfrac uc\right)=\dfrac{x_1}{c}\), \[T=\frac{x_1}{c}+\tau\left(1-\frac uc\right)+\frac{X-x_1-l}{c},\qquad \tau\left(1-\frac uc\right)\approx\frac lv+\frac{lu}{c^2}-\frac{lu}{vc}.\]

6. Разность времён. Вычитаем из \(T_0\) время \(T\): расстояния \(x_1\) и \(X\) сокращаются, остаётся \[\Delta t=T_0-T=\frac{lu}{vc}-\frac{lu}{c^2}.\]

Обратите внимание: \(\Delta t\) не зависит от того, где стоят кубик и экран, и обращается в нуль при \(v=c\) (стекла нет). Если бы мы взяли \(w=v+u\), то получили бы \(lu/(vc)\), а это значение осталось бы и для «кубика» из пустоты.

Ответ. В буквах: \(\Delta t=\dfrac{lu}{c^2}\left(\dfrac{c}{v}-1\right)=\dfrac{lu\,(c-v)}{c^2v}\) (при \(n=c/v\) это \(\dfrac{lu\,(n-1)}{c^2}\)); в числах, например при \(n=1{,}5\): \(\Delta t=0{,}5\,\dfrac{lu}{c^2}\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{lu}{c^2}\,[\text{м}\cdot\text{м/с}\,/\,(\text{м/с})^2]=\) с. Предел \(v\to c\): \(\Delta t\to0\), как должно быть. Знак: при \(u<0\) (кубик навстречу свету) \(\Delta t<0\) — свет приходит позже. Второй способ: точный подсчёт по преобразованиям Лоренца (с \(n=1{,}5\), \(u=10^{-4}c\)) даёт \(\Delta t/u=0{,}49997\,l/c^2\) — совпадение с \(0{,}5\,l/c^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.