Магнитогидродинамический (МГД) генератор

В установившемся режиме сила Лоренца на заряды в ртути уравновешена электрическим полем; ток через замкнутые стенки даёт силу Ампера — «противодавление». Для пункта d нужен релятивистский закон сложения скоростей света в движущейся среде.

Часть 3a

В установившемся режиме результирующая сила, действующая на заряженную частицу, должна быть равна нулю: \[\vec F = 0 = q\vec E + q\vec v\times\vec B,\qquad \vec E = -\vec v\times\vec B = vB\,\hat y,\] \[V_H = vBw,\] \[I = \frac{V_H}{R} = \frac{V_H}{\rho w/(Lh)} = \frac{vBwLh}{\rho w} = \frac{vBLh}{\rho},\quad\text{направление: } -\hat y,\] \[\vec F = I\vec\ell\times\vec B = \frac{vB^2Lhw}{\rho},\quad\text{направление: } (-\hat y\times\hat z = -\hat x).\] Сила направлена в сторону \(-x\). Это создаёт противодавление \(P_b\): \[P_b = \frac{vB^2Lhw}{\rho hw} = \frac{vB^2L}{\rho},\] \[F_{net} = (P - P_b)hw,\qquad v = \alpha F_{net},\] \[v = \alpha(P - P_b)hw = \alpha\left(P - \frac{vB^2L}{\rho}\right)\frac{v_0}{\alpha P} = v_0 - \frac{vv_0B^2L}{P\rho},\] \[v\left(1 + \frac{v_0B^2L}{P\rho}\right) = v_0,\qquad v = v_0\left(1 + \frac{v_0B^2L}{P\rho}\right)^{-1},\qquad v = v_0\frac{P\rho}{P\rho + v_0B^2L}.\]

Часть 3b

Из закона сохранения энергии: \[\Delta\text{Мощность} = V_HI = \frac{v_0^2B^2whL}{\rho},\] или: чтобы восстановить \(v_0\), насос должен создать дополнительное давление \(\Delta P = P_b\): \[\Delta\text{Мощность} = \Delta P\,hwv_0 = P_bhwv_0 = \frac{v_0^2B^2whL}{\rho}.\]

Часть 3c

1. \(u = \dfrac{c}{n}\), \[u' = \frac{\dfrac cn + v}{1 + \dfrac cn\dfrac{v}{c^2}} = \frac{\dfrac cn + v}{1 + \dfrac{v}{cn}}.\] При малых \(v\) (\(v \ll c\)) пренебрегаем членами, содержащими \(v^2/c^2\), в разложении \(\left(1 + \dfrac{v}{cn}\right)^{-1}\): \[u' = \left(\frac cn + v\right)\frac{1}{1 + \dfrac{v}{cn}} \approx \left(\frac cn + v\right)\left(1 - \frac{v}{cn}\right) \approx \frac cn + v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right),\] \[\Delta u = u' - u \approx v\left(1 - \frac{1}{n^2}\right),\] \[\Delta\phi = 2\pi f\Delta T,\qquad T = \frac Lu,\qquad \Delta T = \frac{\Delta u}{u^2}L \approx \frac{Lv}{c^2}(n^2 - 1).\] \(v = v_0\), так что \[\Delta\phi = 2\pi f\frac{L}{c^2}(n^2 - 1)v_0.\]

2. \(\Delta\phi = 2\pi f\dfrac{L}{c^2}(n^2 - 1)v_0\). Сдвиг фазы \(\pi/36\) даёт \[v_0 = \frac{c^2}{72L(n^2 - 1)f},\] \[v_0 = \frac{9\cdot10^{16}}{72\cdot10^{-1}\cdot(2{,}56 - 1)\cdot25} = 3{,}2\cdot10^{14}\text{ м/с},\] что нефизично.

3. При \(v = 20\) м/с \(f \approx 4\cdot10^{14}\) Гц. Но при таком значении \(f\) глубина скин-слоя около 25 нм. Это значит, что амплитуда сигнала, доходящего до конца трубы, практически равна нулю. Поэтому ртуть следует заменить водой.

С другой стороны, если вместо ртути использовать воду, то при 25 Гц \(\delta \approx 3\cdot10^{5}\) м. Сигнал доходит до конца, но \(v \approx 6\cdot10^{14}\) м/с — по-прежнему нефизично. Поэтому частоту следует подобрать заново.

При \(v = 20\) м/с электромагнитная волна частотой \(f \approx 8\cdot10^{14}\) Гц имеет в воде глубину скин-слоя около \(\delta \approx 5{,}6\) см, и выходящая волна сдвинута по фазе на \(\pi/36\) относительно падающей. (Амплитуда волны, доходящей до конца участка, составляет около 17 % амплитуды падающей.)

Следовательно, ртуть следует заменить водой, а частоту подобрать равной \(f \approx 8\cdot10^{14}\) Гц. Правильный вариант — (iii).