Двойная звёздная система

Расстояние до системы входит в поток излучения (через радиус звезды) и в линейные размеры орбит (через угловые смещения); радиус и массу обычной звезды связывает гравитационное красное смещение. В пункте b сохраняются момент импульса и энергия порции газа.

Часть 2a

Полная энергия, излучаемая в секунду, равна \(4\pi R^2\sigma T^4\), где \(\sigma\) — постоянная Стефана — Больцмана. Энергия, падающая на единицу площади на Земле в секунду: \[P = \frac{4\pi R^2\sigma T^4}{4\pi\ell^2},\quad\text{откуда}\quad R = \left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}\ell. \tag{1}\] Энергия фотона \(hf = hc/\lambda\). Эквивалентная масса фотона \(h/c\lambda\). Сохранение энергии фотона: \[\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{Gm_0}{R}\cdot\frac{h}{c\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda},\] откуда \[R = \frac{Gm_0(\lambda_0 + \Delta\lambda)}{c^2\Delta\lambda}, \tag{2}\] и (2) даёт \[m_0 = \frac{c^2\Delta\lambda\left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}}{G(\lambda_0 + \Delta\lambda)}\ell. \tag{3}\] Звёзды вращаются вокруг центра масс с одинаковыми угловыми скоростями: \[\omega = (2\pi/2\tau) = \pi/\tau. \tag{4}\] Условия равновесия звёзд: \[\frac{GMm_0}{(r_1 + r_2)^2} = m_0r_1\omega^2 = Mr_2\omega^2, \tag{5}\] где \[r_1 = \ell\frac{\Delta\theta}{2},\qquad r_2 = \ell\frac{\Delta\phi}{2}. \tag{6}\] Подстановка (3), (4) и (6) в (5) даёт \[\ell = \left(\frac{8c^2\Delta\lambda\left(P/\sigma T^4\right)^{1/2}}{\Delta\phi(\pi/\tau)^2(\lambda_0 + \Delta\lambda)(\Delta\theta + \Delta\phi)^2}\right)^{1/2}.\]

Часть 2b

Сохранение момента импульса обычной звезды: \[mr^2\omega = m_0r_0^2\omega_0. \tag{7}\] Сохранение момента импульса для \(dm\): \[r^2\omega\,dm = r_f^2\omega_f\,dm, \tag{8}\] где \(\omega_f\) — угловая скорость кольца. Условие равновесия в исходном состоянии даёт \[\omega_0 = \left(\frac{GM}{r_0^3}\right)^{1/2}, \tag{9}\] и из (7), (8) и (9) получаем \[\omega = \frac{m_0r_0}{mr^2}\left(\frac{GM}{r_0}\right)^{1/2},\qquad \omega_f = \frac{m_0r_0}{mr_f^2}\left(\frac{GM}{r_0}\right)^{1/2}. \tag{10}\] Сохранение энергии для \(dm\): \[\frac12dm\left(v_0^2 + r^2\omega^2\right) - \frac{GM\,dm}{r} = \frac12dm\,r_f^2\omega_f^2 - \frac{GM\,dm}{r_f}. \tag{11}\] Подставляя (10): \[v_0^2 + \frac{m_0^2r_0GM}{m^2}\left(\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r_f^2}\right) - 2GM\left(\frac1r - \frac{1}{r_f}\right) = 0. \tag{12}\] Поскольку \(r_0 \gg r_f\), при \(r > r_0\) членами с \(r^{-1}\) и \(r^{-2}\) можно пренебречь. Следовательно, \[r_f = \frac{GM}{v_0^2}\left(\left(1 + \frac{m_0^2r_0v_0^2}{GMm^2}\right)^{1/2} - 1\right).\]

Чтобы показать, что \(r > r_0\), запишем изменение импульса обычной звезды в её системе отсчёта: \[-\frac{GMm}{r^2} + mr\omega^2 - m\frac{dv_r}{dt} = -v_0\frac{dm_{gas}}{dt}, \tag{13}\] и (13) означает, что вначале существует сила, направленная наружу, и, следовательно, \(r\) начинает расти. С помощью (7) можно записать \[mr\omega^2 = \frac{m_0^2r_0^4\omega_0^2}{mr^3}.\] Следовательно, \[\frac{\text{сила тяготения}}{\text{центробежная сила}} \propto m^2r,\] где \(m\) определённо уменьшается. Если бы \(r\) в какой-то момент тоже начал уменьшаться, это отношение начало бы уменьшаться, что приводит к противоречию. Итак, \(r > r_0\).