Образование протозвезды

Пока давление пренебрежимо мало, облако падает свободно, а тяготение, действующее на внешний слой, такое же, как если бы вся масса находилась в центре: падение — половина периода вырожденного кеплеровского эллипса. Изотермическое сжатие не меняет внутреннюю энергию, поэтому излучается вся работа сжатия; после потери прозрачности сжатие адиабатическое, а остановка наступает, когда освободившаяся гравитационная энергия сравнивается с тепловой.

i) \(n=8\);  ii) \(t_2\approx\sqrt{\dfrac{0{,}1\,r_0^3}{Gm}}\);  iii) \(t_{r\to0}=\pi\sqrt{\dfrac{r_0^3}{8Gm}}\);  iv) \(Q=\dfrac{3mRT_0}{\mu}\ln\dfrac{r_0}{r_3}\);  v) \(T=T_0\Bigl(\dfrac{r_3}{r}\Bigr)^{3\gamma-3}\);  vi) \(r_4\approx r_3\Bigl(\dfrac{RT_0r_3}{\mu mG}\Bigr)^{\frac1{3\gamma-4}}\), \(T_4\approx T_0\Bigl(\dfrac{RT_0r_3}{\mu mG}\Bigr)^{\frac{3\gamma-3}{4-3\gamma}}\).

Что происходит. Условие \(\dfrac{Gm\mu}{r_0}\gg RT_0\) означает, что тепловая энергия молекулы мала по сравнению с её гравитационной энергией: давление не может удержать облако, и оно падает практически свободно. Сжатие разогревает газ, но пока облако прозрачно, тепло уходит излучением, и температура остаётся равной \(T_0\) (изотермическая стадия). Когда облако становится непрозрачным, тепло некуда деваться, и сжатие идёт адиабатически, а температура растёт. В конце давление нагретого газа уравновешивает тяготение, и сжатие останавливается на радиусе \(r_4\). Главные идеи: на первой стадии — свободное падение под действием притяжения всей массы \(m\) (законы Кеплера), на второй — сохранение энергии, при котором освободившаяся гравитационная энергия переходит в тепло.

Рис. 1. Стадии сжатия (радиусы не в масштабе): изотерма при \(T=T_0\) до радиуса \(r_3\), затем адиабатический нагрев до остановки на радиусе \(r_4\) при температуре \(T_4\).

Обозначения. \(r\) — текущий радиус шара, \(V=\dfrac43\pi r^3\) — его объём, \(m\) — масса, \(\mu\) — молярная масса, \(p\) — давление, \(T\) — температура. Индексы \(0,1,2,3,4\) относятся к радиусам \(r_0,r_1,r_2,r_3,r_4\).

i. На изотермической стадии температура не меняется, \(T=T_0\). Для идеального газа \(pV=\dfrac m\mu RT_0=\text{const}\). При однородной плотности \(V\propto r^3\), значит \(p\propto r^{-3}\): \[\frac{p(r_1)}{p(r_0)}=\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3=2^3=8 .\]

Рис. 2. Изотерма \(p\propto1/V\): при уменьшении радиуса вдвое объём падает в 8 раз, и давление растёт в 8 раз. Закрашенная площадь под изотермой между \(V_3\) и \(V_0\) — работа сжатия (пункт iv).

Проверка: размерность безразмерного отношения очевидна; предел \(r_1\to r_0\) даёт \(n\to1\).

ii. По условию давление пренебрежимо мало, поэтому газ движется свободно: каждый его элемент падает к центру под действием силы тяготения. По теореме Гаусса для тяготения поле в точке определяется только массой внутри сферы этого радиуса и такое же, как если бы вся эта масса находилась в центре. Для внешнего слоя внутри лежит вся масса \(m\), поэтому его ускорение \(g=\dfrac{Gm}{r^2}\). Пока радиус изменился всего на 5 %, ускорение меняется не больше чем на 10 %, и его можно считать постоянным: \(g\approx\dfrac{Gm}{r_0^2}\). Тогда путь \(r_0-r_2=\dfrac{gt_2^2}{2}\): \[t_2\approx\sqrt{\frac{2(r_0-r_2)}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}05\,r_0\cdot r_0^2}{Gm}}=\sqrt{\frac{0{,}1\,r_0^3}{Gm}}\approx0{,}32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} .\]

Проверка: размерность \(\dfrac{r_0^3}{Gm}\): \(\dfrac{\text{м}^3}{\text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}\cdot\text{кг}}=\text{с}^2\). Точная формула для падения с нулевой скоростью (получена в пункте iii) \(t(x)=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2Gm}}\bigl[\sqrt{x(1-x)}+\arccos\sqrt x\,\bigr]\), \(x=r/r_0\), при \(x=0{,}95\) даёт \(0{,}3135\sqrt{r_0^3/(Gm)}\), то есть оценка верна в пределах 1 %.

iii. Давление по-прежнему пренебрежимо мало, и внешний слой шара движется в поле точечной массы \(m\) (все слои падают одновременно, ни один не обгоняет другой, так что масса внутри внешнего слоя постоянна). Падение к центру — это движение по кеплеровской орбите с нулевым моментом импульса: эллипс вырожден в отрезок. Один фокус эллипса — в центре шара (первый закон Кеплера), другой — на конце отрезка, в начальной точке \(r_0\) (в начале внешний слой покоится). Расстояние между фокусами равно длине отрезка \(2a=r_0\), поэтому большая полуось \(a=\dfrac{r_0}{2}\). Период обращения определяется только большой полуосью (третий закон Кеплера): \(\tau=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{Gm}}\). Падение от \(r_0\) в центр — половина вырожденного эллипса, то есть половина периода: \[t_{r\to0}=\frac\tau2=\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}=\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}}=\pi\sqrt{\frac{r_0^3}{8Gm}}\approx1{,}11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} .\]

Рис. 3. Падение внешнего слоя — половина периода кеплеровского эллипса, вырожденного в отрезок длиной \(r_0\) (эллипс на рисунке нарисован слегка раскрытым): притягивающий центр \(O\) и начальное положение — его фокусы, большая полуось \(a=r_0/2\).

Рис. 4. Зависимость радиуса от времени при свободном падении (точный расчёт, \(r=\frac{r_0}{2}(1+\cos\eta)\), \(t=\sqrt{r_0^3/(8Gm)}\,(\eta+\sin\eta)\)): сначала радиус уменьшается медленно (почти равноускоренное падение, пункт ii), затем быстрее; момент \(t_2\) отмечен на оси.

Проверка вторым способом: энергия элемента \(\dfrac{\dot r^2}{2}-\dfrac{Gm}{r}=-\dfrac{Gm}{r_0}\), откуда \(\dot r=-\sqrt{2Gm\Bigl(\dfrac1r-\dfrac1{r_0}\Bigr)}\) и, интегрируя от \(r_0\) до \(0\), получаем \(t=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2Gm}}\displaystyle\int_0^1\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}\,dx=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2Gm}}\cdot\dfrac\pi2\), то есть тот же результат \(\pi\sqrt{\dfrac{r_0^3}{8Gm}}\). Оценка: для облака массой \(m=2\cdot10^{30}~\text{кг}\) (масса Солнца) с радиусом \(r_0=3\cdot10^{15}~\text{м}\) получаем \(t_{r\to0}\approx1{,}6\cdot10^{13}~\text{с}\approx5\cdot10^5\) лет.

iv. Облако прозрачно до радиуса \(r_3\), температура всё время равна \(T_0\). Это изотермическое сжатие идеального газа: давление \(p=\dfrac{mRT_0}{\mu V}\). Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при \(T=\text{const}\) она не меняется, и по первому закону термодинамики вся работа сжатия \(W\) уходит в излучаемое тепло: \(Q=W\). Работа сжатия \[W=-\int_{V_0}^{V_3}p\,dV=\frac{mRT_0}{\mu}\int_{V_3}^{V_0}\frac{dV}{V}=\frac{mRT_0}{\mu}\ln\frac{V_0}{V_3},\qquad \frac{V_0}{V_3}=\Bigl(\frac{r_0}{r_3}\Bigr)^3,\] \[Q=W=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\frac{r_0}{r_3}.\]

Проверка: размерность \(\dfrac{m}{\mu}RT_0\) — джоули. Предел \(r_3\to r_0\) даёт \(Q\to0\): сжатия нет — нет и излучения. Заметим, что отношение \(Q\Big/\dfrac{Gm^2}{r_3}=3\varepsilon\ln\dfrac{r_0}{r_3}\), где \(\varepsilon=\dfrac{RT_0r_3}{\mu mG}\ll1\) (см. пункт vi), мало: почти вся освободившаяся гравитационная энергия идёт в кинетическую энергию падения, а излучается лишь малая её часть.

v. При \(r<r_3\) потерь тепла нет, и сжатие адиабатическое: \(pV^\gamma=\text{const}\). Из уравнения состояния \(p\propto\dfrac TV\), значит \(TV^{\gamma-1}=\text{const}\), а так как \(V\propto r^3\), то \(T\propto r^{-3(\gamma-1)}\). В точке \(r=r_3\) температура ещё равна \(T_0\) (до этого сжатие было изотермическим), поэтому \[T=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3\gamma-3}\qquad(r<r_3).\]

Рис. 5. Температура в зависимости от радиуса (двойной логарифмический масштаб, схема для \(\gamma=5/3\); радиус уменьшается вправо): до \(r_3\) — горизонтальный участок \(T=T_0\), дальше — прямая с наклоном \(3\gamma-3\), продолжающаяся до остановки на радиусе \(r_4\) при температуре \(T_4\).

Проверка: при \(\gamma>\dfrac43\) показатель \(3\gamma-3>1\), и температура растёт быстрее, чем \(1/r\). Это важно в пункте vi: тепловая энергия растёт быстрее, чем гравитационная, поэтому остановка наступает.

vi. Сжатие останавливается, когда давление становится существенным. Оценим энергетически, с точностью до числовых множителей порядка единицы. Полная энергия облака вначале близка к нулю (\(Gm^2/r_0\) мала по сравнению с \(Gm^2/r_4\) при \(r_4\ll r_0\), тепловая энергия тоже мала). Потерь на излучение нет, поэтому полная энергия сохраняется: освободившаяся гравитационная энергия \[|\Delta\Pi|\approx\frac{Gm^2}{r_4}-\frac{Gm^2}{r_3}\approx\frac{Gm^2}{r_4}\qquad(r_3\gg r_4)\] переходит в тепловую энергию газа \[\Delta Q=c_V\frac m\mu(T_4-T_0)\approx c_V\frac m\mu T_4=\frac{1}{\gamma-1}\,\frac m\mu RT_4\sim\frac m\mu RT_4,\] так как \(T_4\gg T_0\) (из пункта v при \(r_3\gg r_4\)), а множитель \(1/(\gamma-1)\) порядка единицы. Точный расчёт для однородного шара добавил бы к гравитационной энергии множитель \(\tfrac35\); такие множители оценка не учитывает. Приравниваем и подставляем \(T_4=T_0\left(\dfrac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-3}\): \[\frac{Gm^2}{r_4}\approx\frac m\mu RT_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-3} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4}\approx\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}.\] Показатель \(3\gamma-4>0\) при \(\gamma>\dfrac43\), поэтому \[r_4\approx r_3\left(\frac{RT_0r_3}{\mu mG}\right)^{\frac1{3\gamma-4}},\qquad T_4=T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-3}\approx T_0\left(\frac{RT_0r_3}{\mu mG}\right)^{\frac{3\gamma-3}{4-3\gamma}} .\]

Рис. 6. Равновесие протозвезды (оценка по порядку величины): давление газа \(p_4\) направлено наружу и уравновешивает вес столба вещества \(\rho g r_4\) с \(g=Gm/r_4^2\) (направлен внутрь).

Обратите внимание: числовые множители в оценке не определены, поэтому ответ верен только по порядку величины и по степенной зависимости от \(r_3\), \(T_0\), \(m\); точный коэффициент потребовал бы решения уравнения гидростатического равновесия для шара с неоднородной плотностью.

Проверка вторым способом — по гидростатике. Давление у центра \(p_4\) уравновешивает вес столба вещества: \(p_4\approx\rho g r_4=\rho\dfrac{Gm}{r_4}\), а по уравнению состояния \(p_4=\dfrac\rho\mu RT_4\). Отсюда \(RT_4\approx\mu\dfrac{Gm}{r_4}\), то есть \(\dfrac{m}{\mu}RT_4\approx\dfrac{Gm^2}{r_4}\) — то же равенство, что было получено из закона сохранения энергии. Малость \(\varepsilon=\dfrac{RT_0r_3}{\mu mG}=\dfrac{RT_0r_0}{\mu mG}\cdot\dfrac{r_3}{r_0}\ll1\) следует из условий \(\dfrac{Gm\mu}{r_0}\gg RT_0\) и \(r_3\ll r_0\); тогда \(\dfrac{r_4}{r_3}=\varepsilon^{1/(3\gamma-4)}\ll1\), как и предполагалось. Для \(\gamma=\dfrac53\) и \(\varepsilon=10^{-2}\) получаем \(r_4=0{,}01\,r_3\) и \(T_4=10^4\,T_0\). Физический смысл: пока тепловая энергия мала по сравнению с гравитационной, газ падает свободно; нагреваясь адиабатически, он накапливает тепло, и сжатие останавливается, когда тепловая энергия молекулы сравнивается с её гравитационной энергией.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.