Шарик в трубке на бутыли

Поместим начало координатной оси \(X\) в место трубки, соответствующее положению равновесия шарика. Тогда уравнение движения шарика будет иметь вид: \(ma = S\Delta p\), где \(a = \dfrac{d^2x}{dt^2}\) — ускорение шарика, \(\Delta p\) — отклонение от равновесного давления \(p_0 + \dfrac{mg}{S}\), возникающее в бутыли при смещении шарика на расстояние \(x\) от положения равновесия. Найдём величину \(\Delta p\), считая, что процесс колебаний шарика происходит без теплообмена газа в бутыли с внешней средой, то есть является адиабатическим.

Так как теплообмен отсутствует, то первое начало термодинамики, записанное для газа, имеет вид: \(\Delta U = -p\Delta V\), где \(\Delta U\) и \(\Delta V\) — изменения внутренней энергии и объёма газа при смещении шарика на расстояние \(x\). Для одноатомного газа, с учётом уравнения Менделеева — Клапейрона, \(U = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}pV\). Поэтому \(\Delta U = \dfrac{3}{2}p\Delta V + \dfrac{3}{2}V\Delta p\), и подставляя \(\Delta U\) в первое начало термодинамики, получаем: \(\Delta p = -\dfrac{5}{3}p\dfrac{\Delta V}{V}\).

Подставим найденное \(\Delta p\) в уравнение движения шарика, учитывая, что \(\Delta V = Sx\): \[\dfrac{d^2x}{dt^2} = -\dfrac{5S^2px}{3mV} = -\dfrac{5S^2}{3mV}\left(p_0 + \dfrac{mg}{S}\right)x.\] Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний, квадрат круговой частоты которых равен коэффициенту при \(x\) в правой части: \(\omega_0^2 = \dfrac{5S^2}{3mV}\left(p_0 + \dfrac{mg}{S}\right)\). Отсюда \[T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{3mV}{5S^2(p_0 + (mg/S))}}.\] Заметим, что числовой коэффициент, входящий в выражение для \(\Delta p\), представляет собой показатель адиабаты \(\gamma\), который для одноатомного газа равен \(5/3\). Его можно выразить из полученного нами ответа задачи: \(\gamma = \dfrac{4\pi^2mV}{T^2S^2(p_0 + (mg/S))}\). Видно, что в правую часть последней формулы входят легко и весьма точно измеряемые величины — масса шарика, объём бутыли, площадь поперечного сечения трубки, период колебаний шарика и атмосферное давление. Таким образом, описанный в условии задачи прибор можно использовать для измерения показателя адиабаты у газов (не обязательно одноатомных), заполняя бутыль исследуемым газом и измеряя период колебаний шарика. Этот метод был предложен в 1928 г. немецким физиком Рухардтом (E. Rüchardt) и носит его имя. Современные модификации метода Рухардта позволяют измерять показатель адиабаты у различных газов с точностью до десятых долей процента.