Удар заряженных шариков

Сначала найдём скорости шариков в момент перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то эти скорости также будут одинаковы. Запишем закон сохранения энергии для начального состояния и момента времени перед ударом: \(mv^2 = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{l} - \dfrac{1}{2r}\right)\), где \(v\) — скорости шариков перед ударом. Так как массы шариков одинаковы, то после абсолютно упругого удара они обменяются скоростями, то есть их скорости окажутся одинаковыми, равными по модулю \(v\) и направленными в противоположные стороны. Значит, суммарная кинетическая энергия шариков останется равна \(mv^2\). В то же время, поскольку в результате пробоя заряды шариков станут одинаковыми и равными \((q_1 + q_2)/2\), то потенциальная энергия их взаимодействия изменится. Конечная скорость шариков после удара может быть найдена из закона сохранения энергии, записанного для момента времени сразу после удара и конечного состояния системы, когда шарики разлетятся на бесконечно большое расстояние и потенциальная энергия взаимодействия обратится в ноль: \[mu^2 - mv^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q_1 + q_2}{2}\right)^2\dfrac{1}{2r},\] где \(u\) — искомая конечная скорость, одинаковая для обоих шариков. Из записанных уравнений получаем: \[u = \sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0m}\left(\dfrac{(q_1 - q_2)^2}{8r} + \dfrac{q_1q_2}{l}\right)}.\] Заметим, что при столкновении шариков часть энергии системы рассеивается. Это происходит при электрическом пробое, в процессе которого энергия расходуется на нагрев шариков и уносится в виде электромагнитных волн. Поэтому данную задачу нельзя решать, записывая закон сохранения энергии для начального и конечного состояний всей системы.