Цилиндр с пружиной и параметрические качели

1A: при смещении поршня на \(x\) давление газа меняется по адиабате, поэтому к силе пружины добавляется упругая сила газа; во второй части запишите закон сохранения энергии для газа, силы тяжести и пружины. 1B: при быстром вставании внизу сохраняется момент импульса, а при приседании в крайней точке сохраняется нулевая угловая скорость; на каждом отрезке между этими моментами сохраняется механическая энергия.

1A. а) \(f=\dfrac1{2\pi}\sqrt{(1+\gamma)\dfrac{mg^2}{nRT_0}}\approx0{,}114\) Гц;  1A. б) \(V_1\approx0{,}74\,V_0\approx1{,}89\) м\(^3\) и \(V_2\approx1{,}30\,V_0\approx3{,}32\) м\(^3\) (\(V_0\approx2{,}55\) м\(^3\));  1B) \(n=\dfrac{10}{3}\approx3{,}3\) цикла.

Что происходит. В части 1A поршень висит на газе и пружине: газ подпирает его снизу, как упругий элемент с жёсткостью, которая растёт при сжатии, пружина добавляет к нему свою жёсткость. Малые колебания — гармонические, частота определяется суммарной жёсткостью. Для большого размаха нужен закон сохранения энергии: работа газа идёт на подъём поршня, изменение энергии пружины и кинетическую энергию поршня.

В части 1B ребёнок на качелях — это маятник переменной длины. Внизу, где скорость наибольшая, ребёнок встаёт и приближает центр масс к точке подвеса; при этом сила, которую он прикладывает, направлена вдоль подвеса, момент сил относительно подвеса равен нулю, и сохраняется момент импульса — угловая скорость растёт. В крайней точке скорость равна нулю, и ребёнок приседает: угловая скорость остаётся нулевой. Главная идея — расписать четыре участка цикла: два быстрых перехода (момент импульса) и два плавных отрезка (энергия).

Обозначения. Часть 1A: \(x\) — смещение поршня вниз из положения равновесия; \(V\) — объём газа; \(P\) — давление; \(s=V/V_0\) — безразмерный объём; \(E_k\) — кинетическая энергия поршня; \(P_0=mg/A\) — давление в положении равновесия. Часть 1B: \(\theta\) — угол отклонения качелей от вертикали, \(\dot\theta\) — угловая скорость, \(\theta_m\) — амплитуда; \(m\) — масса ребёнка; все точки A, B, C, D, E — как на рис. 2.

Рис. 3. Силы, действующие на поршень в положении равновесия (слева) и при смещении вниз на \(x\) (справа). Пружина при смещении вниз растянута и тянет поршень вверх.

1A. а) Равновесие и малые колебания. В равновесии пружина не растянута, поэтому поршень удерживает только газ. Запишем условие равновесия поршня в проекции на вертикаль: \[P_0A=mg,\qquad P_0=\frac{mg}{A},\qquad V_0=\frac{nRT_0}{P_0}=\frac{nRT_0A}{mg}\approx2{,}55~\text{м}^3 .\] Сместим поршень вниз на \(x\) (рис. 3). Объём газа становится \(V=V_0-Ax\). Процесс адиабатический, поэтому \(PV^\gamma=P_0V_0^\gamma\): \[P=\frac{P_0}{(1-Ax/V_0)^\gamma}\approx P_0\left(1+\gamma\frac{Ax}{V_0}\right),\] при \(Ax\ll V_0\). Запишем второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось \(x\), направленную вниз. Сила тяжести направлена вдоль оси, сила пружины и сила давления газа — против оси: \[m\ddot x=mg-kx-PA=mg-kx-P_0A-\gamma\frac{P_0A^2}{V_0}\,x .\] Так как \(mg=P_0A\), постоянные члены сокращаются. Подставим \(k=mgA/V_0\) и \(P_0A=mg\): \[m\ddot x=-\left(\frac{mgA}{V_0}+\gamma\frac{mgA}{V_0}\right)x=-(1+\gamma)\frac{mgA}{V_0}\,x .\] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega^2=(1+\gamma)\dfrac{gA}{V_0}\). Частота \[f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{(1+\gamma)\frac{gA}{V_0}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{(1+\gamma)\frac{mg^2}{nRT_0}},\] где использовано \(V_0=nRT_0A/(mg)\). Числа: \[\frac{mg^2}{nRT_0}=\frac{10\cdot9{,}8^2}{2\cdot8{,}314\cdot300}\approx0{,}1925~\text{с}^{-2}, \qquad f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac83\cdot0{,}1925}\approx0{,}114~\text{Гц}.\] Обратите внимание: газ работает как пружина жёсткостью \(\gamma P_0A^2/V_0\), равной \(\gamma\) жёсткостям настоящей пружины; поэтому в итоговую формулу входит \(1+\gamma\), а не \(1\).

1A. б) Состояния и закон сохранения энергии. Первоначально поршень сдвинут так, что объём газа равен \(V_0/2\) (поршень на \(V_0/(2A)\) ниже равновесия, пружина растянута на \(V_0/(2A)\)) и скорость равна нулю. Рассмотрим произвольный момент, когда объём газа равен \(V\) (рис. 4). Все процессы адиабатические и без потерь, значит, энергия сохраняется: работа газа при расширении от \(V_0/2\) до \(V\) равна сумме изменений потенциальной энергии поршня в поле тяжести, энергии пружины и кинетической энергии поршня: \[W_{\text{газ}}=\Delta U_{\text{тяж}}+\Delta U_{\text{пр}}+E_k .\]

Рис. 4. Три состояния системы: равновесие, начальное состояние (объём \(V_0/2\), поршень отпускают) и произвольный момент. Высота поршня над дном равна \(V/A\), растяжение пружины — \((V_0-V)/A\) (при \(V>V_0\) пружина сжата).

Выразим каждое слагаемое через единицу \(mgV_0/A\) и \(s=V/V_0\).

Работа газа. Давление при адиабатическом расширении \(P=P_0V_0^\gamma/V^\gamma\), поэтому \[W_{\text{газ}}=\int_{V_0/2}^{V}P\,dV=\frac{P_0V_0^\gamma}{1-\gamma}\left[V^{1-\gamma}-\left(\frac{V_0}{2}\right)^{1-\gamma}\right] =\frac{mgV_0}{A}\cdot\frac{1}{1-\gamma}\left[s^{1-\gamma}-\left(\frac12\right)^{1-\gamma}\right].\] Потенциальная энергия в поле тяжести: поршень поднялся на \((V-V_0/2)/A\), \[\Delta U_{\text{тяж}}=mg\,\frac{V-V_0/2}{A}=\frac{mgV_0}{A}\left(s-\frac12\right).\] Энергия пружины: начальное растяжение \(V_0/(2A)\), в произвольный момент деформация \((V_0-V)/A\): \[\Delta U_{\text{пр}}=\frac12\,\frac{mgA}{V_0}\left[\frac{(V_0-V)^2}{A^2}-\frac{V_0^2}{4A^2}\right]=\frac{mgV_0}{A}\left[\frac{(1-s)^2}{2}-\frac18\right].\] Кинетическая энергия при заданной скорости \(v^2=4gV_0/(5A)\): \[E_k=\frac12 mv^2=\frac{2}{5}\,\frac{mgV_0}{A}.\] Подставим всё в закон сохранения энергии и сократим на \(mgV_0/A\). С учётом тождества \((s-\tfrac12)+\tfrac12(1-s)^2=\tfrac12s^2\): \[\frac{1}{1-\gamma}\left[s^{1-\gamma}-\left(\tfrac12\right)^{1-\gamma}\right]=\frac12 s^2-\frac18+\frac25,\] то есть при \(\gamma=5/3\) (тогда \(1/(1-\gamma)=-3/2\), \((1/2)^{1-\gamma}=2^{2/3}\)) \[0=\frac12s^2+\frac{11}{40}+\frac32\left(s^{-2/3}-2^{2/3}\right).\] Это уравнение решаем численно (график левой части пересекает ось в двух точках, рис. 5): \(s_1\approx0{,}741\), \(s_2\approx1{,}303\). Умножаем на \(V_0\): \[V_1\approx0{,}741\,V_0\approx1{,}89~\text{м}^3,\qquad V_2\approx1{,}303\,V_0\approx3{,}32~\text{м}^3 .\] (в официальном решении \(s_{1,2}\) округлены до \(0{,}74\) и \(1{,}30\), откуда \(1{,}88\) и \(3{,}31\) м\(^3\)).

Рис. 5. Кинетическая энергия поршня в зависимости от объёма газа, по формуле \(E_k(s)=\frac32\left(2^{2/3}-s^{-2/3}\right)-\frac12s^2+\frac18\) (в единицах \(mgV_0/A\)). Горизонтальная линия — заданная энергия \(2/5\); она пересекает кривую при \(V_1\) (поршень идёт вверх от начала) и \(V_2\) (после прохождения положения равновесия). Остановки поршня — при \(0{,}5\,V_0\) и \(1{,}71\,V_0\).

Проверка 1A. Размерность: \(gA/V_0\) — \(\text{м/с}^2\cdot\text{м}^2/\text{м}^3=\text{с}^{-2}\). Второй способ для части а): кривая \(E_k(s)\) на рис. 5 имеет максимум при \(s=1\) (положение равновесия), а её кривизна \(d^2E_k/ds^2=-(\tfrac53+1)=-(1+\gamma)\) в единицах \(mgV_0/A\) даёт тот же коэффициент \((1+\gamma)\), что и в уравнении колебаний. Часть б): при \(s_1\) и \(s_2\) кинетическая энергия равна \(0{,}4\) при максимуме \(0{,}506\) — слева и справа от равновесия, как и должно быть, а скорость нигде не обращается в нуль, кроме остановок. Смысл: газ при сжатии сам становится «пружиной», поэтому система жёстче, чем одна пружина.

1B. Участки цикла. Рассмотрим половину цикла: от прохода нижней точки в присевшем положении (точка A) до следующего прохода нижней точки (точка E). Пусть \(\dot\theta_A\) — угловая скорость в точке A, а \(\theta_C\) — амплитуда после рассматриваемого размаха (рис. 6).

Рис. 6. Половина цикла: A\(\to\)B — ребёнок встаёт (\(r_d\to r_u\), сохраняется момент импульса), B\(\to\)C — подъём стоя, в C скорость равна нулю, C\(\to\)D — ребёнок приседает, D\(\to\)E — спуск в приседе. Угловая скорость \(\dot\theta_B>\dot\theta_A\). Для наглядности отличие \(r_d\) от \(r_u\) и угол \(\theta_C\) увеличены.

A\(\to\)B: вставание. При быстром вставании силы, действующие на ребёнка, направлены вдоль подвеса и не дают момента относительно точки подвеса (момент силы тяжести за мгновенный переход даёт пренебрежимо малый импульс). Запишем закон сохранения момента импульса \(L=mr^2\dot\theta\) относительно подвеса: \[mr_d^2\,\dot\theta_A=mr_u^2\,\dot\theta_B,\qquad \dot\theta_B=\left(\frac{r_d}{r_u}\right)^2\dot\theta_A .\]

B\(\to\)C: подъём стоя. На этом участке длина \(r_u\) постоянна, момент сил тяжести действует, механическая энергия сохраняется: кинетическая энергия в точке B переходит в потенциальную в точке C. Малые углы: \(1-\cos\theta_C\approx\theta_C^2/2\): \[\frac12 mr_u^2\dot\theta_B^2=mgr_u(1-\cos\theta_C)\approx\frac12 mgr_u\theta_C^2, \qquad \theta_C^2=\frac{r_u}{g}\,\dot\theta_B^2 .\]

C\(\to\)D: приседание в крайней точке. Скорость равна нулю, момент импульса равен нулю и остаётся равным нулю, поэтому \(\dot\theta=0\) и угол остаётся \(\theta_C\). Центр масс при этом уходит дальше от подвеса и опускается.

D\(\to\)E: спуск в приседе. Длина \(r_d\) постоянна, механическая энергия сохраняется: \[\frac12 mr_d^2\dot\theta_E^2=mgr_d(1-\cos\theta_C)\approx\frac12 mgr_d\theta_C^2, \qquad \dot\theta_E^2=\frac{g}{r_d}\,\theta_C^2 .\] Обратите внимание: приседание в крайней точке нельзя описывать как потерю энергии \(mg(r_d-r_u)\). Подвес отклонён на угол \(\theta_C\), поэтому центр масс опускается не на \(r_d-r_u\), а на \((r_d-r_u)\cos\theta_C\). Разница \(mg(r_d-r_u)(1-\cos\theta_C)\approx\tfrac12 mg(r_d-r_u)\theta_C^2\) составляет долю \((r_d-r_u)/r\) от энергии качаний — того же порядка, что и сам прирост энергии за полцикла, поэтому пренебречь ею нельзя. Именно так получена вторая («альтернативная») версия официального решения с ответом \(n=5\): с потерей \(mg(r_d-r_u)\) множитель за цикл выходит \(2^{1/5}\) вместо \(2^{3/10}\).

Рост за половину и за полный цикл. Свяжем угловые скорости в точках A и E. Подставим \(\dot\theta_B\) в выражение для \(\theta_C^2\), затем \(\theta_C^2\) — в \(\dot\theta_E^2\): \[\dot\theta_E^2=\frac{g}{r_d}\cdot\frac{r_u}{g}\left(\frac{r_d}{r_u}\right)^4\dot\theta_A^2=\left(\frac{r_d}{r_u}\right)^3\dot\theta_A^2, \qquad \frac{\dot\theta_E}{\dot\theta_A}=\left(\frac{r_d}{r_u}\right)^{3/2}.\] Амплитуда качелей в присевшем положении связана с максимальной угловой скоростью соотношением \(\theta_m^2=\dfrac{r_d}{g}\dot\theta_{\max}^2\), так что амплитуда растёт в \((r_d/r_u)^{3/2}\) раза за половину цикла. Полный цикл состоит из двух половин (одна — справа от вертикали, другая — слева): множитель \((r_d/r_u)^3\). За \(n\) циклов: \[\frac{\theta_m(n)}{\theta_m(0)}=\left(\frac{r_d}{r_u}\right)^{3n}=2^{3n/10}.\] Амплитуда и максимальная угловая скорость растут одинаково. Условие удвоения (рис. 7): \[2^{3n/10}=2\quad\Rightarrow\quad n=\frac{10}{3}\approx3{,}3\ \text{цикла}.\]

Рис. 7. Амплитуда качелей в зависимости от числа циклов, \(\theta_m\propto2^{3n/10}\); точки — после каждой половины цикла. Удвоение наступает при \(n=10/3\).

Проверка 1B. Размерность не нарушена: множитель \((r_d/r_u)^{3n}\) безразмерен. Предел: при \(r_d\to r_u\) рост пропадает — ребёнок не меняет длину маятника и не раскачивает качели. Второй способ — расчёт без малых углов: цикл из двух вставаний и двух приседаний, найденный по законам сохранения момента импульса и энергии при начальной амплитуде \(0{,}02\) рад, даёт множитель за цикл \(1{,}2311\), то есть \((2^{1/10})^3=1{,}2311\), и удвоение за \(3{,}33\) цикла. Смысл: за каждый цикл амплитуда растёт на 23 %, то есть качели раскачиваются экспоненциально, как при параметрическом резонансе: ребёнок накачивает их на удвоенной частоте — вставая дважды и приседая дважды за цикл.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.