Магнитная фокусировка

2A: период обращения электрона в поперечной плоскости не зависит от поперечной скорости, поэтому за время пролёта \(L\) с продольной скоростью электрон должен сделать ровно один оборот. 2B: вертикальную силу даёт горизонтальная компонента краевого поля, действующая на составляющую скорости поперёк пучка; она пропорциональна высоте частицы над средней плоскостью — значит, краевое поле действует как линза.

2A. а) \(B=\dfrac{2\pi}{L}\sqrt{\dfrac{2mV}{e}}\approx 4{,}24\) мТл;  2A. б) \(I=\dfrac{B}{\mu_0 n}\approx 6{,}75\) А;  2B) \(f=\dfrac{m^2v^2}{q^2B^2l}\).

Что происходит. В продольном поле соленоида электрон движется по винтовой линии: вдоль оси — равномерно, с продольной скоростью, которую ему задало ускоряющее напряжение, а в плоскости, перпендикулярной оси, — по окружности, проходящей через ось. Период обращения по такой окружности не зависит от радиуса, то есть от малой поперечной скорости, поэтому все электроны возвращаются на ось в один момент — через один период. Главная идея: фокус там, куда электрон долетает за один период, то есть время пролёта \(L/v_\parallel\) равно периоду \(T\).

В части 2B магнит с краевым полем играет роль линзы для вертикальных отклонений. Горизонтальная компонента краевого поля \(B_x\) растёт пропорционально высоте \(z\) над средней плоскостью, а частица, летящая под малым углом \(\theta\) к оси магнита, имеет составляющую скорости \(v_y\) поперёк \(B_x\). Сила Лоренца вертикальна, направлена к средней плоскости и пропорциональна \(z\) — это и есть линза: отклонение пропорционально высоте луча. Ключевой закон — сила Лоренца, фокусное расстояние — отношение импульса вдоль пучка к вертикальному импульсу, набранному на единицу высоты.

Обозначения. Часть 2A: \(v_\parallel\) и \(v_\perp\) — составляющие скорости вдоль и поперёк оси соленоида (вдоль и поперёк \(\vec B\)); \(R\) — радиус окружности, в которую проецируется траектория; \(T\) — период обращения; \(n=500\) м\(^{-1}\) — число витков на метр; \(I\) — ток. Часть 2B: оси как на рис. 2: \(x\) — вдоль магнита, \(y\) — поперёк, \(z\) — вверх; \(v_x=v\cos\theta\), \(v_y=v\sin\theta\) — составляющие скорости частицы в краевом поле; \(R\) — радиус дуги в однородном поле \(B\).

Рис. 6. Слева — винтовая линия электрона от анода до точки \(F\): за время \(T\) электрон проходит \(L=v_\parallel T\) вдоль оси. Справа — проекция траектории на плоскость, перпендикулярную \(\vec B\) (смотрим вдоль \(\vec B\)): электрон движется по окружности, проходящей через ось, по часовой стрелке.

2A. а) Скорость вдоль оси. Сила Лоренца работы не совершает, поэтому вся энергия, набранная в ускоряющем поле, остаётся кинетической: \[eV=\frac m2\left(v_\parallel^2+v_\perp^2\right)\approx\frac m2 v_\parallel^2 , \qquad v_\parallel=\sqrt{\frac{2eV}{m}}\approx 5{,}93\cdot10^{7}~\text{м/с},\] так как \(v_\perp\ll v_\parallel\). Сила Лоренца \(-e\vec v\times\vec B\) перпендикулярна \(\vec B\), а составляющая \(\vec v_\parallel\) параллельна \(\vec B\) и в силу не входит, поэтому \(v_\parallel\) остаётся постоянной.

Период поперечного движения. В плоскости, перпендикулярной \(\vec B\), на электрон действует только сила Лоренца \(ev_\perp B\), перпендикулярная скорости. Запишем второй закон Ньютона для центростремительного ускорения: \[\frac{mv_\perp^2}{R}=ev_\perp B .\] Так как \(v_\perp=\omega R\), где \(\omega=2\pi/T\) — угловая скорость, \[m\,\frac{2\pi}{T}=eB,\qquad T=\frac{2\pi m}{eB}.\] Радиус и \(v_\perp\) в период не входят — именно поэтому электроны с разными малыми \(v_\perp\) собираются в одной точке.

Условие фокусировки. Электрон вернётся на ось через один период. За это время вдоль оси он пройдёт путь \(L\): \[T=\frac{L}{v_\parallel}.\] Подставим \(T\) и \(v_\parallel\): \[\frac{2\pi m}{eB}=\frac{L}{v_\parallel} \quad\Rightarrow\quad B=\frac{2\pi m v_\parallel}{eL}=\frac{2\pi}{L}\sqrt{\frac{2mV}{e}} .\] Числа: \(\sqrt{2mV/e}=\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot10^{4}/1{,}60\cdot10^{-19}}\approx3{,}37\cdot10^{-4}\), отсюда \[B=\frac{2\pi\cdot3{,}37\cdot10^{-4}}{0{,}50}\approx 4{,}24\cdot10^{-3}~\text{Тл}=4{,}24~\text{мТл}.\] Обратите внимание: в формуле нет \(v_\perp\), но вывод верен, пока \(v_\perp\ll v_\parallel\): только тогда продольная скорость равна \(\sqrt{2eV/m}\) и \(L/v_\parallel\) одинаково для всех электронов. В официальном решении в записи формулы пропущен множитель \(2\) (стоит \(2^{1/2}\pi\) вместо \(2^{3/2}\pi\)), но число \(4{,}24\) мТл получено верно.

Рис. 7. Индукция поля, при которой электроны фокусируются на расстоянии \(L=0{,}50\) м, в зависимости от ускоряющего напряжения. Отмечено найденное значение.

2A. б) Внутри длинного соленоида вдали от торцов поле однородно и равно \(B=\mu_0nI\). Отсюда \[I=\frac{B}{\mu_0 n}=\frac{4{,}24\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot500}\approx 6{,}75~\text{А}.\]

Проверка 2A. Размерность: \(\dfrac1L\sqrt{\dfrac{mV}{e}}\) — \(\dfrac{1}{\text{м}}\sqrt{\dfrac{\text{кг}\cdot\text{Дж}}{\text{Кл}^2}}=\dfrac{\text{кг}}{\text{с}\cdot\text{Кл}}=\) Тл. Второй способ: циклотронная частота \(\omega=eB/m\approx7{,}45\cdot10^{8}\) рад/с, период \(T=2\pi/\omega\approx8{,}44\) нс, за это время электрон пролетает \(v_\parallel T\approx5{,}93\cdot10^{7}\cdot8{,}44\cdot10^{-9}=0{,}50\) м \(=L\). Смысл: чем быстрее электрон (больше \(V\)), тем сильнее нужно его закручивать, чтобы он успел сделать оборот на длине \(L\) (рис. 7); чем больше \(L\), тем слабее нужно поле. Поправка на релятивизм мала: при \(10\) кэВ \(v_\parallel\approx 0{,}2\,c\) и энергия электрона составляет около 2 % от энергии покоя.

2B. Однородное поле: угол \(\theta\). Частица с зарядом \(q\) в однородном вертикальном поле \(B\) движется в плоскости \(xy\) по дуге окружности. Второй закон Ньютона для центростремительного ускорения: \[\frac{mv^2}{R}=qvB,\qquad R=\frac{mv}{qB}.\] Вертикальной силы в однородной части нет: \(F_z=q(v_xB_y-v_yB_x)=0\), так как \(B_x=B_y=0\). Поэтому высота \(z\) частицы внутри магнита не меняется (так сказано в условии — отклонение по \(z\) мало).

Частица входит в магнит под углом \(\theta\) и выходит под углом \(-\theta\) (рис. 8). Хорда дуги — длина магнита \(l\). Угол между касательной и хордой равен половине центрального угла \(2\theta\), поэтому \[l=2R\sin\theta,\qquad \sin\theta=\frac{l}{2R}=\frac{qBl}{2mv}.\] Угол мал, поэтому \(\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta\).

Рис. 8. Вид сверху. Дуга окружности радиуса \(R\) в однородном поле; хорда — центральная линия магнита длиной \(l\). Касательные в точках входа и выхода образуют с хордой углы \(\theta\), центральный угол равен \(2\theta\).

2B. Сила в краевом поле на входе. Магнитное поле в краевой области \(\vec B=(B_x,0,B_z)\), скорость частицы \(\vec v=(v\cos\theta,\ v\sin\theta,\ 0)\). Запишем силу Лоренца \(\vec F=q\vec v\times\vec B\) и возьмём её \(z\)-компоненту: \[F_z=q\,(v_xB_y-v_yB_x)=-qv_yB_x=-\frac{qvB\,z\sin\theta}{b}.\] Знак: при \(z>0\) сила направлена вниз, при \(z<0\) — вверх, то есть всегда к средней плоскости (рис. 9, слева). Составляющая \(B_z\) в \(F_z\) не входит: она даёт горизонтальную силу, которая уже учтена в движении по дуге.

Время пролёта краевой области толщиной \(b\) вдоль оси \(x\): \(\Delta t=b/v_x=b/(v\cos\theta)\). Приращение вертикального импульса на входе (высоту \(z\) на отрезке \(b\) считаем постоянной): \[\Delta p_{z1}=F_z\,\Delta t=-\frac{qvBz\sin\theta}{b}\cdot\frac{b}{v\cos\theta}=-qBz\tan\theta .\]

2B. Сила в краевом поле на выходе. На выходе из магнита частица летит под углом \(-\theta\), то есть \(v_y=-v\sin\theta\), а компонента поля меняет знак: \(B_x=-Bz/b\) (рис. 9, справа). Меняются знаки сразу двух множителей, поэтому \[F_z=-q\,v_yB_x=-q\,(-v\sin\theta)\left(-\frac{Bz}{b}\right)=-\frac{qvBz\sin\theta}{b},\] знак силы прежний: частицу снова тянет к средней плоскости, и \(\Delta p_{z2}=\Delta p_{z1}\).

Обратите внимание: если бы на выходе менялся знак только одной из величин, действие краёв вычиталось бы и линзы не было. Здесь знаки меняются у обоих, и действия складываются.

Рис. 9. Сечение плоскостью \(xz\) у краёв магнита. Слева — вход в краевое поле: составляющая скорости \(v_y>0\) направлена от нас, \(B_x>0\) при \(z>0\). Справа — выход: \(v_y<0\) (к нам), \(B_x<0\) при \(z>0\). В обоих случаях сила \(\vec F_z\) направлена к средней плоскости.

2B. Суммарный импульс и фокусное расстояние. Складываем приращения на входе и на выходе, подставляем \(\sin\theta\) из однородной части: \[\Delta p_z=\Delta p_{z1}+\Delta p_{z2}=-2qBz\tan\theta\approx-2qBz\,\frac{qBl}{2mv}=-\frac{q^2B^2l\,z}{mv}.\] После магнита луч, пришедший на высоте \(z\), имеет вертикальный импульс \(\Delta p_z\) и импульс \(p=mv\) вдоль пучка. Он идёт под малым углом \(|\Delta p_z|/p\) к оси и пересекает её на расстоянии \(f\) от магнита (рис. 10), где \[\frac{|\Delta p_z|}{p}=\frac{z}{f}.\] Подставляем: \(f=\dfrac{p\,z}{|\Delta p_z|}=\dfrac{mv\cdot z\cdot mv}{q^2B^2l\,z}\). Высота \(z\) сокращается: все лучи сходятся в одной точке — линза. \[\boxed{\,f=\frac{m^2v^2}{q^2B^2l}\,}\]

Рис. 10. Слева — ход лучей: после магнита отклонение пропорционально высоте, и лучи сходятся на расстоянии \(f\). Справа — векторы импульса частицы, вошедшей на высоте \(z>0\): \(\vec p\,'=\vec p+\Delta\vec p_z\).

Проверка 2B. Размерность: \(f=\dfrac{(mv/(qB))^2}{l}=\dfrac{R^2}{l}\) — метры. Действительно, \(f=R^2/l=l/(4\sin^2\theta)\gg l\) при малом \(\theta\), что согласуется с предположением, что отклонения малы. Предел: \(B\to0\) даёт \(f\to\infty\) — без поля нет фокусировки. Заряд входит в квадрате: частицы любого знака фокусируются одинаково, как и должно быть — при смене знака \(q\) меняется и направление отклонения \(\theta\), и сила в краевом поле. Второй способ — известный результат для прямоугольного поворотного магнита: краевое поле на каждом краю даёт вертикальную фокусировку с оптической силой \(\tan\theta/R\), два края — \(2\tan\theta/R=l/R^2\), то есть \(f=R^2/l\). Например, при \(R=1\) м и \(l=0{,}2\) м получаем \(f=5\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.