Фокус на эскизах

Подсказка

A: положение цели зависит от угла бросания через квадратное уравнение для \(\operatorname{tg}\theta\), а оптимальную траекторию из верхней точки здания ищите как касающуюся огибающей области досягаемости. B: линии тока теснее "— воздух быстрее, давление и температура ниже. C: внутри трубки поток сохраняется, поэтому при вытягивании трубки или смещении её энергия поля меняется при \(\Phi = \text{const}\); концы трубки ведут себя как магнитные заряды \(\pm\Phi\).

Ответ

A.i) \(z_0 = \dfrac{v_0^2}{2g}\), \(k = \dfrac{g}{2v_0^2}\);  A.ii) оптимальная траектория касается крыши в точке, где радиус сферы составляет \(60^\circ\) с вертикалью (рис. 3);  A.iii) \(v_{\min} = 3\sqrt{\dfrac{gR}{2}}\);  B.i) \(v_P = v_0\Bigl(1 - \dfrac ab\Bigr) \approx 23\) м/с;  B.ii) точка \(Q\) "— на верхней стороне крыла у передней кромки, где линии тока теснее всего (рис. 4);  B.iii) \(v_{\text{крит}} = c\sqrt{\dfrac{2c_p\,\Delta T}{a^2 - c^2}} \approx 28\) м/с (при \(\Delta T = 1{,}5\) К);  C.i) внутри трубки "— прямые вдоль оси; снаружи линии замыкаются, и чем ближе линия к оси внутри, тем шире её петля (рис. 8);  C.ii) \(T = \dfrac{\Phi^2}{2\mu_0\pi r^2}\);  C.iii) \(F = \dfrac{(4-\sqrt2)\,\Phi^2}{8\pi\mu_0 l^2}\) (притяжение)

Решение

Что происходит. Три независимые части объединяет один приём: свойство, которое нужно найти, определяется «границей», и эскиз даёт ключ к решению. В части A "— область досягаемости мячом ограничена огибающей парабол, и минимальная скорость соответствует касанию этой огибающей и крыши. В части B "— точка, где вода конденсируется, определяется самым быстрым и потому самым холодным местом потока: там, где линии тока теснее всего. В части C "— магнитная энергия трубки при сохранении потока даёт силы: силу натяжения как производную энергии по длине, а силу между трубками "— как силу между магнитными зарядами концов. Ключевые законы: сохранение энергии при движении в поле тяжести, уравнение неразрывности и закон Бернулли, сохранение магнитного потока в сверхпроводнике.

Обозначения. Часть A: \(\theta\) "— угол бросания над горизонталью, \(t = \operatorname{tg}\theta\), \(R\) "— радиус здания; ускорение \(g\) направлено вниз. Часть B: \(v\) "— скорость воздуха в системе крыла, \(w\) "— расстояние между соседними линиями тока (ширина канала). Часть C: \(B\) "— индукция поля внутри трубки, \(\mu_0\) "— магнитная постоянная.

A.i. Брошенный из начала координат мяч с углом \(\theta\) движется по параболе \[z = x\,t - \frac{g x^2}{2v_0^2}\,(1 + t^2), \qquad t = \operatorname{tg}\theta ,\] где использовано \(1/\cos^2\theta = 1 + t^2\) (из \(x = v_0\cos\theta\, \tau\), \(z = v_0\sin\theta\,\tau - g\tau^2/2\) исключаем время \(\tau\)). Точка \((x, z)\) достижима, если для неё найдётся угол, то есть уравнение относительно \(t\) \[\frac{g x^2}{2v_0^2}\,t^2 - x\,t + \Bigl(z + \frac{g x^2}{2v_0^2}\Bigr) = 0\] имеет вещественный корень. Условие неотрицательности дискриминанта: \(x^2 - 4\,\dfrac{g x^2}{2v_0^2}\Bigl(z + \dfrac{g x^2}{2v_0^2}\Bigr) \ge 0\), откуда \[z \le \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}\,x^2 .\] Сравниваем с \(z \le z_0 - kx^2\).

Рис. 1. Траектории с одной скоростью \(v_0\) из точки \(O\) при разных углах (серые) и граница области досягаемости (бирюзовая); самая пологая "— бросок под углом \(0^\circ\) (оранжевая).

Проверка по двум частным случаям. Бросок вертикально вверх достигает \(x = 0\), \(z = v_0^2/2g\) (закон сохранения энергии) "— это \(z_0\). Для далеко лежащих ниже точек (\(z\to-\infty\)) самая пологая траектория "— при горизонтальном броске, \(z = -gx^2/(2v_0^2)\); граница области \(z = z_0 - kx^2\) при \(z\to-\infty\) должна с ней сближаться, то есть \(k = g/(2v_0^2)\).

Ответ A.i. \[\boxed{\,z_0 = \frac{v_0^2}{2g}, \qquad k = \frac{g}{2v_0^2}\,}\]

A.ii. Траектория обратима: мяч, брошенный с земли и достигший верха здания со скоростью \(v_0\), можно пустить обратно, и он пойдёт по той же кривой. По закону сохранения энергии квадрат скорости на земле больше, чем на вершине, на \(2g\cdot 2R = 4gR\). Поэтому задачу можно переформулировать: какова наименьшая скорость \(v_0\) при броске из вершины здания (при любом угле), при которой мяч долетит до земли, не задев крышу?

Область досягаемости из вершины "— внутренность параболы \(z \le z_0 - kx^2\) (при \(v_0\) из A.i). Чтобы мяч долетел до земли, «обойдя» здание, нужно, чтобы здание целиком лежало внутри этой области: если можно перебросить через здание, то можно и попасть в любую точку внутри, уменьшив угол. Граница области должна касаться здания: иначе между зданием и границей остался бы зазор, и можно было бы чуть уменьшить скорость. Значит, при оптимальной \(v_0\) парабола касается сферы (в двух симметричных точках), и оптимальная траектория "— та, что проходит через точку касания и касается крыши. Для скорости меньше оптимальной парабола пересекает сферу в четырёх точках, а для большей "— не пересекает вовсе (рис. 2).

Рис. 2. Огибающие парабол для трёх скоростей и здание. При \(v_0^2 = gR/2\) (бирюзовая) парабола касается здания в двух симметричных точках.

Точное положение точки касания найдём ниже; здесь сделаем эскиз. Траектория начинается в \(A\) (вершина здания) под небольшим углом вверх, чуть поднимается над вершиной, затем снижается, касаясь крыши в точке \(T\) (радиус в ней составляет \(60^\circ\) с вертикалью), и уходит на землю в точку \(B\). Мяч, брошенный из \(B\), идёт по этой же кривой в обратную сторону и достигает \(A\) (рис. 3).

Рис. 3. Оптимальная траектория \(B \to A\) (оранжевая): касается крыши в \(T\); пунктир "— граница области досягаемости при минимальной скорости, касающаяся здания в \(T\) и симметричной ей точке.

Ответ A.ii. Эскиз "— рис. 3: плавная дуга от точки на земле справа (или слева), которая касается крыши в точке выше середины высоты здания (на высоте \(3R/2\) над землёй) и приходит в вершину сверху под углом \(30^\circ\) к горизонту.

A.iii. Начало координат поместим в вершину здания. Сфера (центр в \((0,-R)\)): \(x^2 + z^2 + 2zR = 0\). Огибающая: \(z = \dfrac{v_0^2}{2g} - \dfrac{g}{2v_0^2}\,x^2\). Подставим \(z\) в уравнение сферы. Из \(z^2 = \dfrac{v_0^4}{4g^2} - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{g^2x^4}{4v_0^4}\) получаем уравнение относительно \(x^2\): \[x^4\Bigl(\frac{g}{2v_0^2}\Bigr)^2 + x^2\Bigl(\frac12 - \frac{gR}{v_0^2}\Bigr) + \Bigl(\frac{v_0^2}{4g} + R\Bigr)\frac{v_0^2}{g} = 0 .\] Нас интересует скорость, при которой решения перестают быть вещественными "— это момент касания, и дискриминант равен нулю. Обозначим \(u = gR/v_0^2\): \[\Bigl(\frac12 - u\Bigr)^2 = 4\Bigl(\frac{g}{2v_0^2}\Bigr)^2\Bigl(\frac{v_0^2}{4g} + R\Bigr)\frac{v_0^2}{g} = \frac14 + u \quad\Rightarrow\quad u^2 = 2u \quad\Rightarrow\quad u = 2 .\] (Корень \(u = 0\) отбрасываем.) Тогда \[v_0^2 = \frac{gR}{2}.\] Точка касания: \(x_T^2 = \dfrac{u - 1/2}{2\,(g/2v_0^2)^2}\) с \(g/2v_0^2 = 1/R\) даёт \(x_T = \dfrac{\sqrt3}{2}R\), \(z_T = -\dfrac R2\) (проверка: \(x_T^2 + (z_T + R)^2 = \dfrac34R^2 + \dfrac14R^2 = R^2\)). Радиус, проведённый в эту точку из центра, составляет \(60^\circ\) с вертикалью. Угол бросания из вершины найдём из того же квадратного уравнения для \(t = \operatorname{tg}\theta\) в точке \((x_T, z_T)\): \[\frac{3R}{4}\,t^2 - \frac{\sqrt3}{2}R\,t + \frac R4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (\sqrt3\,t - 1)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 30^\circ ,\] двойной корень "— признак касания границы области. Рис. 3 построен по этим числам: траектория из вершины под \(30^\circ\) вверх поднимается над ней лишь на \(\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \dfrac R{16}\) и затем снижается, касаясь крыши в точке \(T\).

Скорость на земле (закон сохранения энергии при спуске на \(2R\)): \(\dfrac{v_{\min}^2}2 = \dfrac{v_0^2}2 + g\cdot2R\), \[v_{\min} = \sqrt{v_0^2 + 4gR} = \sqrt{\frac{gR}{2} + 4gR} = 3\sqrt{\frac{gR}{2}} .\] Точка запуска: траектория \(z = x/\sqrt3 - \dfrac{4x^2}{3R}\) приходит на землю (\(z = -2R\)) при \(x \approx 1{,}46\,R\); угол к горизонту при этом \(\approx 73^\circ\).

Ответ A.iii. \[\boxed{\,v_{\min} = 3\sqrt{\frac{gR}{2}}\,}\] Проверка: размерность \(\sqrt{gR}\) "— скорость. Сравним с броском с земли вертикально вверх на высоту \(2R\): \(v = \sqrt{4gR} = 2\sqrt{gR} \approx 2{,}00\sqrt{gR}\); найденное \(3/\sqrt2 \approx 2{,}12\) чуть больше, и оно должно быть больше: мяч должен ещё обогнуть здание. Численный перебор углов (python) показал, что траектория без пересечения крыши существует при \(v_0^2 \ge 0{,}50\,gR\) и не существует при \(v_0^2 \le 0{,}49\,gR\).

B.i. В системе отсчёта крыла невозмущённый воздух далеко от крыла движется со скоростью \(v_0\) (ветра нет). Между двумя соседними линиями тока поток воздуха (объём в секунду) постоянен "— уравнение неразрывности: \(v\,w\cdot(\text{глубина}) = \text{const}\), а течение двумерное, так что глубина одна и та же. Значит, \(v\,w = \text{const}\) вдоль канала: скорость обратно пропорциональна расстоянию между линиями.

Измеряем на рисунке расстояние между той парой линий, что проходит через \(P\): далеко от крыла \(a \approx 10\) мм, у точки \(P\) \(b \approx 13\) мм (линейкой по рисунку на листе ответов). Скорость воздуха в системе крыла в \(P\): \(u = v_0\,\dfrac ab\). В точке \(P\) линии тока горизонтальны, поэтому все скорости параллельны, и векторное сложение сводится к скалярному. В системе крыла воздух движется против движения самолёта со скоростью \(u < v_0\); переходя в систему земли (крыло движется со скоростью \(v_0\) в противоположную сторону), получаем скорость воздуха \(v_P = v_0 - u\), направленную по движению самолёта. \[v_P = v_0\Bigl(1 - \frac ab\Bigr) = 100\cdot\Bigl(1 - \frac{10}{13}\Bigr) \approx 23~\text{м/с}.\] Измерение по векторной версии рисунка (расстояния между линиями на рисунке в точке \(P\) и вдали) даёт \(a/b = 0{,}76\) и \(v_P = 23{,}9\) м/с "— тот же результат в пределах точности линейки.

Рис. 4. Канал между двумя соседними линиями тока (бирюзовый): узкий над передней кромкой "— точка \(Q\); в \(P\) он шире, чем вдали от крыла.

Ответ B.i. \[\boxed{\,v_P = v_0\Bigl(1 - \frac ab\Bigr) \approx 23~\text{м/с}\,}\]

B.ii. Динамическое давление \(\tfrac12\rho v^2\) мало по сравнению с атмосферным, но в областях, где воздух ускоряется, он адиабатически расширяется и охлаждается: быстрый процесс, воздух не успевает обменяться теплом, а скорость много меньше звуковой. Если температура падает до точки росы, образуются капли. Начнётся это в той точке, где расширение сильнее всего: где давление минимально. По закону Бернулли \(p + \tfrac12\rho v^2 = \text{const}\) минимум давления "— там, где максимальна скорость, то есть минимально расстояние между линиями тока. Формулы, определяющие \(Q\): \[v\,w = \text{const}, \qquad p + \tfrac12\rho v^2 = \text{const}, \qquad p^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{const}.\] Из первых двух: \(v\) растёт \(\Rightarrow\) \(p\) падает; из третьей: \(p\) падает \(\Rightarrow\) \(T\) падает. Точка \(Q\) "— на верхней стороне крыла вблизи передней кромки, где расстояние между линиями тока наименьшее.

Замечание. У острой задней кромки линии тока тоже сгущаются (рис. 4), но это очень малая область у самого острия, к тому же у реального крыла кромка скруглена; поэтому, как и в официальном решении, берём точку на верхней стороне "— там течение гладкое и расстояние между линиями определяется надёжно.

Рис. 5. Скорость воздуха вдоль канала рис. 4 в долях \(v_0\) (\(v/v_0 = a/w\), где \(w(x)\) "— ширина канала): максимум в \(Q\), ниже единицы в \(P\). Расчёт по координатам линий.

Ответ B.ii. \(Q\) "— точка на верхней стороне крыла у передней кромки, где линии тока теснее всего (рис. 4).

B.iii. Сначала найдём, на сколько нужно охладить воздух. Давление пара в воздухе \(p_w = r\,p_{sa} = 0{,}90\cdot2{,}31 = 2{,}08\) кПа. Температуру точки росы \(T\) находим из условия: давление насыщенного пара при ней равно \(p_w\). Так как относительное изменение \(p_s(T)\) мало, линеаризуем между \(T_a\) и \(T_b\) (рис. 6): \[\frac{p_{sa} - p_w}{T_a - T} = \frac{p_{sb} - p_{sa}}{T_b - T_a} \quad\Rightarrow\quad \Delta T = T_a - T = (T_b - T_a)\,\frac{(1 - r)\,p_{sa}}{p_{sb} - p_{sa}} = 1\cdot\frac{0{,}231}{0{,}15} \approx 1{,}5~\text{К}.\] Зависимостью точки росы от давления пока пренебрегаем (поправку оценим в конце).

Рис. 6. Линейная интерполяция давления насыщенного пара между \(T_a\) и \(T_b\) и температура точки росы \(T = T_a - \Delta T \approx 291{,}5\) К.

Теперь связь температуры со скоростью. Воздух течёт быстро, теплообмена между порциями нет, течение дозвуковое "— процесс адиабатический, но газ сжимаем, и закон Бернулли для несжимаемой жидкости надо уточнить. Рассмотрим канал между линиями тока и один моль воздуха массой \(\mu\): пока в канал на одном конце втекает моль, на другом вытекает столько же. Втекающий газ приносит кинетическую энергию \(\tfrac12\mu v_1^2\) и внутреннюю энергию \(C_VT_1\) (\(C_V = \mu c_V\)) и получает работу вталкивающего его газа \(p_1V_1 = RT_1\); вытекающий уносит \(\tfrac12\mu v_2^2\), \(C_VT_2\) и совершает работу \(p_2V_2 = RT_2\). Баланс энергии, с учётом \(C_p = C_V + R\): \[\tfrac12\mu v^2 + C_pT = \text{const} \quad\Rightarrow\quad \frac{v^2}{2} + c_pT = \text{const} \;\;\text{вдоль линии тока}.\] Это закон сохранения энергии для газа: удельная энтальпия \(c_pT\) плюс кинетическая энергия. Вдали \(v = v_0\) и \(T = T_a\), в точке \(Q\) скорость в \(a/c\) раз больше (\(a\) "— расстояние между линиями вдали, \(c\) "— в \(Q\)) и температура ниже на \(\Delta T\): \[\frac{v_0^2}{2}\Bigl(\frac{a^2}{c^2} - 1\Bigr) = c_p\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad v_{\text{крит}} = c\sqrt{\frac{2c_p\,\Delta T}{a^2 - c^2}} .\] Промер на рисунке: \(a \approx 10\) мм, \(c \approx 4{,}5\) мм (\(a/c \approx 2{,}2\)); с \(c_p = 1{,}00\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К) и \(\Delta T = 1{,}5\) К: \[v_{\text{крит}} = 4{,}5\cdot\sqrt{\frac{2\cdot1000\cdot1{,}5}{100 - 20{,}25}}\;\frac{\text{м/с}}{\text{мм}}\;\text{мм} \approx 28~\text{м/с}.\] (Промер по векторной версии: \(a/c = 2{,}18\) и \(\Delta T = 1{,}54\) К дают \(28{,}6\) м/с.)

Рис. 7. Охлаждение в точке \(Q\) как функция скорости самолёта, \(\Delta T = \dfrac{v_0^2}{2c_p}\Bigl(\dfrac{a^2}{c^2}-1\Bigr)\) при \(a/c = 2{,}18\); критическая скорость "— там, где охлаждение достигает \(\Delta T\) точки росы.

Ответ B.iii. \[\boxed{\,v_{\text{крит}} = c\sqrt{\frac{2c_p\,\Delta T}{a^2 - c^2}} \approx 28~\text{м/с}\,}\] В официальном решении здесь стоит \(\approx23\) м/с, но его же формула с его же числами (\(c = 4{,}5\) мм, \(a = 10\) мм, \(\Delta T = 1{,}5\) К) даёт \(27{,}6\) м/с, поэтому верная оценка "— \(\approx28\) м/с.

Проверка: \(c_p\Delta T\) измеряется в Дж/кг \(= (\text{м/с})^2\), так что \(v\) получилось в м/с. Согласие с адиабатой: при этой скорости перепад давления \(\tfrac12\rho(v_Q^2 - v_0^2) \approx 1{,}8\) кПа (около \(1{,}8\,\%\) от \(p_0\)), и из \(T\propto p^{(\gamma-1)/\gamma}\) (\(\gamma = c_p/c_V = 1{,}39\)) охлаждение \(\approx 293\cdot0{,}28\cdot0{,}018 \approx 1{,}5\) К "— то же, что и по энтальпии. Учёт падения давления, а с ним парциального давления пара, на этом \(1{,}8\,\%\) сдвигает точку росы ещё на \(0{,}3\) К и поднимает оценку до \(\approx 31\) м/с; порядок тот же.

C.i. Силовые линии не могут пересекать сверхпроводящую стенку, поэтому поток через сечение трубки один и тот же во всех сечениях. Поле внутри трубки не должно иметь циркуляции вдоль любого замкнутого контура, лежащего внутри (токов там нет), поэтому линии не могут искривляться, и поле однородно: \(B = \dfrac{\Phi}{\pi r^2}\) вдоль оси. Выйдя из торца, линии расходятся и замыкаются снаружи, как у соленоида.

Форму внешних линий можно найти. На расстояниях, больших по сравнению с \(r\), поле снаружи "— это поле двух точечных магнитных зарядов: \(+\Phi\) в верхнем торце (линии выходят) и \(-\Phi\) в нижнем (входят); почему так "— подробно в пункте C.iii. Линия, проходящая в среднем сечении на расстоянии \(\rho\) от оси, отделяет от оси поток \(f\Phi\), где \(f = \rho^2/r^2\) (поле внутри однородно). Поток точечного заряда через шапку с углом раствора \(\theta\) равен \(\Phi(1-\cos\theta)/2\), поэтому вдоль линии \[\cos\theta_{\text{в}} - \cos\theta_{\text{н}} = -2f ,\] где \(\theta_{\text{в}}\) и \(\theta_{\text{н}}\) "— углы между направлением \(+z\) и направлениями на точку линии из верхнего и нижнего торцов. У самого верхнего торца \(\theta_{\text{н}} \approx 0\), и линия выходит под углом \(\cos\theta_0 = 1 - 2f\) к оси. В плоскости \(z = 0\) имеем \(\cos\theta_{\text{в}} = -\cos\theta_{\text{н}}\), и линия проходит на расстоянии \(\rho_{\max} = \dfrac l2\,\dfrac{\sqrt{1-f^2}}{f}\) от оси. Для пяти точек:

• \(\rho = 0\): \(f = 0\) "— линия идёт по оси и уходит на бесконечность, возвращаясь с другой стороны;

• \(\rho = \pm0{,}34\,r\): \(f = 0{,}12\), выход под углом \(\theta_0 \approx 40^\circ\), петля доходит до \(\rho_{\max} \approx 4{,}3\,l\);

• \(\rho = \pm0{,}69\,r\): \(f = 0{,}48\), выход почти поперёк оси (\(\theta_0 \approx 87^\circ\)), петля доходит до \(\rho_{\max} \approx 0{,}92\,l\).

Чем ближе линия к оси внутри трубки, тем шире её петля снаружи (рис. 8). Вблизи торца, на расстояниях порядка \(r\), приближение точечного заряда грубое; там линии просто плавно поворачивают от стенки к рассчитанному направлению.

Рис. 8. Линии поля в осевом сечении, рассчитанные для \(r = 0{,}08\,l\): внутри трубки прямые, параллельные оси; линии от точек \(\pm0{,}69\,r\) замыкаются на расстоянии \(0{,}92\,l\) от оси, линии от \(\pm0{,}34\,r\) уходят за рамку (их петли замыкаются на \(4{,}3\,l\)), линия по оси уходит на бесконечность.

Ответ C.i. Рис. 8.

C.ii. Растянем трубку мысленно на малую длину \(\Delta l\). Поток \(\Phi\) через трубку при этом не меняется: изменение потока дало бы ЭДС \(\dfrac{d\Phi}{dt}\), а при нулевом сопротивлении это означало бы бесконечный ток. Значит, индукция внутри \(B = \dfrac{\Phi}{\pi r^2}\) остаётся прежней, а объём поля растёт на \(\pi r^2\Delta l\). Плотность энергии магнитного поля \(\dfrac{B^2}{2\mu_0}\), поэтому энергия растёт на \[\Delta W = \frac{B^2}{2\mu_0}\,\pi r^2\,\Delta l = \frac{\Phi^2}{2\mu_0\pi r^2}\,\Delta l .\] Эта энергия получена за счёт работы силы, растягивающей трубку, \(\Delta W = T\,\Delta l\). (Поле снаружи при таком растяжении на малую величину не меняется "— вклад ничтожен при \(l \gg r\).)

Рис. 9. Слева: две половины трубки, мысленно разрезанной плоскостью \(z = 0\); каждая тянет другую к себе с силой \(T\). Справа: растяжение на \(\Delta l\) добавляет у торцов объём \(\pi r^2\Delta l\) (по половине у каждого) с тем же полем \(B\).

Ответ C.ii. \[\boxed{\,T = \frac{\Phi^2}{2\mu_0\pi r^2}\,}\] Проверка: \(T = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,\pi r^2\) "— давление магнитного поля (плотность энергии) на площадь сечения; единицы: \(\Phi^2/(\mu_0 r^2)\) "— (Вб)\(^2\)/((Гн/м)\(\cdot\)м\(^2\)) = Н.

C.iii. Рассмотрим, как изменится магнитная энергия, если одну из трубок сместить. Внутри трубок поле остаётся прежним из-за сохранения потока, а снаружи меняется. Поле вне трубок определяется условиями: нет циркуляции \(\vec B\) (токов снаружи нет), нет источников линий, кроме торцов трубок, и каждый торец "— источник потока \(\pm\Phi\). Это те же условия, что определяют электрическое поле четырёх зарядов \(\pm Q\). Если расстояние между зарядами много больше размера заряда, их можно считать точечными (поле вблизи них почти постоянно и в изменение полной энергии при смещении не вносит заметного вклада), поэтому торцы трубок можно считать точечными магнитными зарядами.

Чтобы найти силу между двумя магнитными зарядами, установим соответствие с электрическими величинами. Для двух зарядов \(Q\) на расстоянии \(a\) сила \(F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q^2}{a^2}\), а плотность энергии поля одного заряда в месте нахождения другого \(w = \dfrac{1}{32\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{Q^2}{a^4}\); отсюда \(F = 8\pi w a^2\). Это универсальное выражение (для линий поля такой же формы, как у двух равных по модулю противоположных зарядов) "— оно опирается только на плотность энергии и не зависит от природы поля, поэтому подходит и для магнитного. Действительно, силу можно получить как производную полной энергии поля по виртуальному смещению источника линий; если плотности энергии двух полей в одной точке равны, то равны и полные энергии. Для точечного источника потока \(\Phi\) на расстоянии \(a\) по теореме Гаусса \(B = \dfrac{1}{4\pi}\dfrac{\Phi}{a^2}\), плотность энергии \(w = \dfrac{B^2}{2\mu_0} = \dfrac{1}{32\pi^2\mu_0}\dfrac{\Phi^2}{a^4}\), и \[F(a) = \frac{1}{4\pi\mu_0}\,\frac{\Phi^2}{a^2}.\] Силы взаимодействия четырёх зарядов (рис. 10): \(+\Phi\) и \(-\Phi\) на концах первой трубки, \(-\Phi\) и \(+\Phi\) "— на концах второй. Продольные составляющие (вдоль осей) сокращаются: по диагоналям одноимённые заряды отталкиваются в противоположные стороны вдоль оси. Притяжение разноимённых зарядов, расположенных напротив друг друга на расстоянии \(l\) (две такие пары): \[F_1 = \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{\Phi^2}{l^2}.\] Отталкивание одноимённых зарядов по диагоналям (расстояние \(\sqrt2\,l\)), поперечная составляющая каждого равна \(F_2\cos45^\circ\): \[F_2 = \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{\Phi^2}{2l^2} = \frac{F_1}{2}, \qquad F_{2\perp} = F_2\cos45^\circ = \frac{F_1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{16\pi\mu_0}\frac{\Phi^2}{l^2}.\] Результирующая сила притяжения между трубками: \[F = 2F_1 - 2F_{2\perp} = \frac{\Phi^2}{4\pi\mu_0 l^2}\Bigl(2 - \frac{\sqrt2}{2}\Bigr) = \frac{(4-\sqrt2)\,\Phi^2}{8\pi\mu_0 l^2} .\]

Рис. 10. Концы двух трубок как четыре магнитных заряда в вершинах квадрата со стороной \(l\); силы на заряды второй трубки: \(\vec F_1\) "— притяжение напротив, \(\vec F_2\) "— отталкивание по диагонали (поперечные составляющие вычитаются из \(2F_1\), продольные взаимно сокращаются).

Ответ C.iii. \[\boxed{\,F = \frac{(4-\sqrt2)\,\Phi^2}{8\pi\mu_0 l^2}\,}\quad\text{(притяжение)}\] Проверка: размерность та же, что у \(T\) "— \(\Phi^2/(\mu_0\cdot\text{длина}^2)\) "— сила. Знак: разноимённые торцы стоят напротив друг друга на расстоянии \(l\), а одноимённые "— дальше, на \(\sqrt2\,l\), и их силы ещё и направлены под углом, поэтому притяжение перевешивает, как у двух магнитов, обращённых друг к другу разноимёнными полюсами. Без диагональных пар сила была бы \(2F_1 = \dfrac{\Phi^2}{2\pi\mu_0l^2}\); они уменьшают её в \(\dfrac{4}{4-\sqrt2} \approx 1{,}55\) раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.