Область досягаемости снаряда

Разложим \(v\) на вертикальную и горизонтальную составляющие. Отсюда видно, что каждый параметр \(x\), \(y\) и \(z\) как функция \(t\) равен \[z = v_0t\sin\alpha-\tfrac12gt^2, \tag{1}\] \[x = v_0t\cos\alpha, \tag{2}\] \[t = \frac x{v_0\cos\alpha}. \tag{3}\] Подставляя уравнение (3) в уравнение (1), получаем \[z = v_0\Bigl(\frac x{v_0\cos\alpha}\Bigr)\sin\alpha -\frac12g\Bigl(\frac x{v_0\cos\alpha}\Bigr)^2.\] Упрощение с помощью тригонометрии даёт \[\begin{align*} z &= x\tg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2}\sec^2\alpha,\\ z &= x\tg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2}(\tg^2\alpha+1),\\ 0 &= \frac{gx^2}{2v_0^2}\tg^2\alpha-x\tg\alpha+\frac{gx^2}{2v_0^2}+z. \end{align*}\] Здесь мы получили квадратное уравнение. Чтобы область пространства \(R\) существовала, дискриминант этого уравнения должен быть больше нуля. Это даёт нам \[x^2-4\frac{gx^2}{2v_0^2}\Bigl(z+\frac{gx^2}{2v_0^2}\Bigr)\ge0,\qquad x^2-\frac{2gx^2}{v_0^2}z-\frac{g^2x^4}{v_0^4}\ge0.\] Упрощая это последнее выражение, получаем ответ. Область пространства \(R\) такова: \[\boxed{z\le\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2}}.\]