Камень и комар

Максимальная высота подъёма камня определяется вертикальной составляющей начальной скорости: \[H = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\] На высоте \(\dfrac{H}{2}\) скорость камня найдём из закона сохранения энергии: \[\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mv_0^2}{2} - mg\dfrac{H}{2}.\] Отсюда \[v^2 = v_0^2\left(1 - \dfrac{\sin^2\alpha}{2}\right).\] Угол наклона \(\varphi\) скорости камня к горизонту находим из условия \[\cos\varphi = \dfrac{v_{\text{гор}}}{v} = \dfrac{v_0\cos\alpha}{v},\] где \(v_{\text{гор}}\) — горизонтальная составляющая скорости камня. Следовательно, \[\cos\varphi = \dfrac{\cos\alpha}{\sqrt{1 - \dfrac{\sin^2\alpha}{2}}}.\] Рассмотрим теперь составляющую ускорения камня, нормальную к орбите движения (рис. 82),

\[\dfrac{v^2}{R} = g\cos\varphi.\] Здесь \(R\) — радиус кривизны на высоте \(\dfrac{H}{2}\). Он равен \[R = \dfrac{v^2}{g\cos\varphi}.\] Отсюда ускорение комара в этой точке траектории \[a = \dfrac{v_0^2}{R} = \dfrac{v_0^2g\cos\varphi}{v^2} = g\dfrac{\cos\alpha}{\left(1 - \dfrac{\sin^2\alpha}{2}\right)^{3/2}}.\] Таким образом, ответ не зависит от \(v_0\).