Бросок с обрыва

Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За малый промежуток времени \(\Delta t\) изменение его импульса составит: \[m\Delta v_{\text{в}} = -mg\Delta t - kv_{\text{в}}\Delta t = -mg\Delta t - k\Delta H,\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности в выражении для силы сопротивления воздуха. Когда тело достигнет верхней точки траектории, изменение импульса тела будет равно \[-mv_{\text{в}0} = -mgt_1 - kH.\qquad(1)\] При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки \(A\) изменение импульса составит \[mv_{\text{в}A} = mgt_2 - kH.\qquad(2)\] Складывая (1) и (2), получим \[-m\Delta v = mg\tau - 2kH,\] где \(\tau = t_2 - t_1\), \(\Delta v = v_{\text{в}0} - v_{\text{в}A}\). Отсюда \[H = \dfrac{m}{k}\dfrac{g\tau + \Delta v}{2}.\qquad(3)\] Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.

Изменение горизонтальной составляющей импульса тела \(\Delta v_{\text{г}}\) равно импульсу силы сопротивления воздуха: \[m\Delta v_{\text{г}} = -kv_{\text{г}}\Delta t = -k\Delta L,\] где \(\Delta L\) — малое смещение тела по горизонтали. Когда тело достигает точки \(A\), изменение горизонтальной составляющей импульса составит (по модулю) \[mv_{\text{г}0} - mv_{\text{г}A} = kL_A,\qquad(4)\] где \(L_A\) — расстояние между точками \(A\) и \(O\). При максимальном удалении, когда горизонтальная составляющая скорости станет равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно \[mv_{\text{г}0} = kL_{\max}.\qquad(5)\] Вычитая (4) из (5), получаем \[\dfrac{m}{k} = \dfrac{\Delta L_0}{v_{\text{г}A}},\] где \(\Delta L_0 = L_{\max} - L_A\). Следовательно, \[H = \dfrac{\Delta L_0}{2v_{\text{г}A}}(g\tau + \Delta v).\]