Переправа через два рукава реки

Пусть \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы между траекторией движения лодки и береговой линией в каждом из рукавов. Из приведённого рис. 31.10 (в условии задачи) следует: \[\sin\alpha_1 = \dfrac{4}{5},\ \sin\alpha_2 = \dfrac{3}{5},\ \cos\alpha_1 = \dfrac{3}{5},\ \cos\alpha_2 = \dfrac{4}{5}.\] Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, в каждом из рукавов равна \(\vec v = \vec u + \vec v_0\) (рис. 97). Из рисунка видно, что минимальный снос лодки по течению соответствует случаю, когда скорость лодки \(\vec v\) направлена по касательной к окружности радиуса \(v_0\).

Поэтому \[\sin\alpha_1 = \dfrac{v_0}{u},\] \[\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \dfrac{u_2}{u_1}.\] Обозначим \(\dfrac{u_2}{u_1} = n = \dfrac{4}{3}\). Горизонтальная составляющая скорости \(\vec v\) лодки есть \[v_{\text{гор}} = u - v_0\sin\alpha = u\left(1 - \dfrac{v_0}{u}\sin\alpha\right) = u\cos^2\alpha.\] Запишем полное время переправы: \[t = \dfrac{L_1}{u_1\cos^2\alpha_1} + \dfrac{L_2}{u_2\cos^2\alpha_2} = \dfrac{1}{u_1}\left[\dfrac{L_1}{\cos^2\alpha_1} + \dfrac{L_2}{n\cos^2\alpha_2}\right].\] Здесь \(L_1 = 0{,}3\) км и \(L_2 = 0{,}4\) км — снос лодки в каждом рукаве. Подставляя в это соотношение числовые значения величин, найдём \[u_1 \approx 3{,}1\text{ км/ч}.\] Теперь определим \(u_2\) и \(v_0\): \[u_2 = nu_1 \approx 4{,}1\text{ км/ч},\] \[v_0 = u_1\sin\alpha_1 \approx 2{,}5\text{ км/ч}.\]