Три концентрические сферы

В случае а) имеем \[\varphi_{A1} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q_1}{r} + \dfrac{q_2}{r_2} + \dfrac{q_3}{r_3}\right).\] В случае б) поле между сферами \(2\) и \(3\) отсутствует. На сфере \(2\) будет индуцирован заряд, равный \(-q_1\), заряд \(q_1 + q_2\) уйдёт на сферу \(3\). Из закона сохранения заряда следует, что полный заряд на сфере \(3\) будет равен \(q_1 + q_2 + q_3\). Следовательно, \[\varphi_{A2} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q_1}{r} - \dfrac{q_1}{r_2} + \dfrac{q_1 + q_2 + q_3}{r_3}\right).\] В случае в) после заземления сферы \(1\) её потенциал станет равным нулю: \[\varphi_1 = 0 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q_1^* + q_2 + q_3}{r_3} + \dfrac{q_1^*}{r_1} - \dfrac{q_1^*}{r_2}\right),\qquad(1)\] где \(q_1^*\) — заряд на сфере \(1\) после замыкания ключа \(K_2\). Из соотношения (1) находим \[q_1^* = \dfrac{q_2 + q_3}{r_3}\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_3}\right)^{-1}.\] Тогда \[\varphi_{A3} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q_1^*}{r} - \dfrac{q_1^*}{r_2} + \dfrac{q_1^* + q_2 + q_3}{r_3}\right) =\] \[= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q_2 + q_3}{r_3}\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r_1}\right)\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_3}\right)^{-1}.\]