Ёмкость сферы с бугорком

Если бы бугорка не было, то заряд \(Q\), равномерно распределённый по поверхности проводящей сферы, создавал бы в её центре потенциал \(\varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\), и ёмкость сферы была бы равна \(C = \dfrac{Q}{\varphi} = 4\pi\varepsilon_0R\). Однако из-за наличия бугорка часть заряда находится не на расстоянии \(R\) от центра, а на немного большем расстоянии. В результате потенциал \(\varphi\) изменяется на малую величину \(\Delta\varphi\). Для того, чтобы оценить \(\Delta\varphi\), примем, что на бугорке находится малый заряд \(q\), и будем считать, что он находится на расстоянии порядка \(r\) от поверхности сферы. Тогда \[\Delta\varphi \sim \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(R + r)} - \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R} \approx -\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Для оценки величины заряда бугорка \(q\) рассмотрим напряжённость электрического поля вблизи центра бугорка, которая должна обращаться в нуль. Заряды на сфере создают в этой точке поле с напряжённостью \(E_1 \simeq \dfrac{Q}{2\cdot 4\pi\varepsilon_0R^2}\), а заряды на бугорке — с напряжённостью \(E_2 \simeq \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\). Из условия \(\vec E_1 + \vec E_2 = 0\) находим: \(q \simeq \dfrac{Qr^2}{2R^2}\) (этот результат имеет следующий физический смысл: поверхностные плотности зарядов на сфере и на бугорке одинаковы по порядку величины). Окончательно для изменения ёмкости сферы, обусловленного наличием бугорка, получаем: \[\Delta C = \dfrac{Q}{\varphi + \Delta\varphi} - \dfrac{Q}{\varphi} \approx -\dfrac{Q}{\varphi^2}\Delta\varphi \simeq 2\pi\varepsilon_0\dfrac{r^3}{R^2}.\]