Газы по две стороны от поршня

В начальный момент времени давление в цилиндре \[p = \dfrac{\nu_1RT_1}{V_1} = \dfrac{\nu_2RT_2}{V_2},\] где \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — число молей газа в каждой из частей цилиндра. Отсюда \[\dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{T_1V_2}{T_2V_1},\qquad p(V_1 + V_2) = R(\nu_1T_1 + \nu_2T_2).\] После выравнивания температур конечная температура \(T'\) и давление \(p'\) связаны соотношением \[p'(V_1 + V_2) = (\nu_1 + \nu_2)RT',\] поскольку суммарный объём сохраняется. Отсюда \[\dfrac{p'}{p} = \dfrac{(\nu_1 + \nu_2)T'}{\nu_1T_1 + \nu_2T_2} = \dfrac{T_2V_1 + T_1V_2}{T_1T_2(V_1 + V_2)}T'.\] Температура \(T'\) находится из закона сохранения энергии: внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма и равна \(U = C_VT\). Поэтому \(C_{V_1}T_1 + C_{V_2}T_2 = (C_{V_1} + C_{V_2})T'\). Отсюда \[\dfrac{p'}{p} = \dfrac{T_2V_1 + T_1V_2}{T_1T_2(V_1 + V_2)}\cdot\dfrac{C_{V_1}T_1 + C_{V_2}T_2}{C_{V_1} + C_{V_2}}.\]