Гелий и азот по разные стороны поршня

Подумайте, какая величина сохраняется для системы «газы + поршень», если к ней не подводится тепло извне и механическая энергия поршня не меняется.

Будем отмечать параметры гелия индексом 1, а параметры азота индексом 2. Запишем первое начало термодинамики для газов: \[Q_1 = \Delta U_1 + A_1, \qquad Q_2 = \Delta U_2 + A_2.\] Здесь \(Q_1\) и \(Q_2\) — количества теплоты, подведённой к газам, \(\Delta U_1\) и \(\Delta U_2\) — приращения внутренней энергии газов, \(A_1\) и \(A_2\) — механические работы сил давления газов на поршень. Складывая эти равенства, получаем: \[Q_1 + Q_2 = \Delta U + A_1 + A_2,\] где \(\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2\) — приращение суммарной внутренней энергии газов. Так как газы обмениваются теплом только друг с другом, то \(Q_1 + Q_2 = 0\). Поскольку механическая энергия поршня не меняется при переходе в конечное состояние, то \(A_1 + A_2 = 0\). Получаем: \[\Delta U = 0 \quad \Rightarrow \quad U = \text{const},\] то есть суммарная внутренняя энергия газов сохраняется. Этот результат можно получить и иначе, рассматривая баланс энергии для системы, состоящей из газов и поршня.

Пусть \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количества молей гелия и азота, \(T_1\) и \(T_2\) — их начальные температуры, \(V\) — начальный объём каждого из газов, \(P\) и \(T\) — конечные давление и температура, \(V_1\) и \(V_2\) — конечные объёмы. Запишем равенство значений суммарной внутренней энергии газов в начальном и конечном состояниях: \[\dfrac{3}{2}\nu_1 R T_1 + \dfrac{5}{2}\nu_2 R T_2 = \dfrac{3}{2}\nu_1 R T + \dfrac{5}{2}\nu_2 R T.\] Перейдём от температур к давлениям и объёмам, воспользовавшись уравнением состояния: \[P_0 V = \nu_1 R T_1, \quad P_0 V = \nu_2 R T_2, \quad P V_1 = \nu_1 R T, \quad P V_2 = \nu_2 R T.\] Получаем: \[3 P_0 V + 5 P_0 V = 3 P V_1 + 5 P V_2 \quad \Rightarrow \quad P = \dfrac{8 P_0 V}{3 V_1 + 5 V_2}.\] Из уравнения состояния \(\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\nu_1}{\nu_2} = k\), то есть \(V_1 = k V_2\). Учитывая, что \(V_1 + V_2 = 2V\), получаем: \[V_1 = \dfrac{2 k V}{k + 1}, \qquad V_2 = \dfrac{2 V}{k + 1} \quad \Rightarrow \quad P = \dfrac{4 P_0 (k + 1)}{3k + 5}.\] Подставим числовые значения: \[P = \dfrac{4 \cdot 0{,}35 \cdot 4}{14} = \dfrac{8 \cdot 0{,}35}{7} = 0{,}4~\text{МПа}.\]