Облака в поднимающемся воздухе

Для первого пункта используйте адиабату и уравнение состояния. Для второго — условие равновесия столба воздуха, а для третьего — сумму адиабатического охлаждения и нагрева от выделившейся теплоты конденсации.

1. Ответ получается путём использования уравнения состояния идеального газа \(\dfrac{P_1 V_1}{T_1} = \dfrac{P_2 V_2}{T_2}\) и уравнения адиабаты \(P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\). Отсюда получаем, что \[\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{1 - \frac{1}{\gamma}}.\] 2. Плотность воздуха на высоте, где давление равно \(P_2\), можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева: \[\dfrac{P_1}{\rho_1 T_1} = \dfrac{P_2}{\rho_2 T_2}.\] Разность давлений \(P_1 - P_2\) создаётся столбом воздуха высоты \(h\). Для простоты рассмотрим цилиндр такой высоты, опирающийся на основание площадью \(S\): \[\dfrac{m g}{S} = P_1 - P_2.\] Массу можно найти, зная, что плотность меняется линейно: \(m = S h \dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2}\). Тогда \[h = \dfrac{2 (P_1 - P_2)}{g (\rho_1 + \rho_2)}.\] 3. Так как воздух поднимается адиабатически, но изменением его плотности из-за присутствия водяных паров мы пренебрегаем, можно рассматривать адиабатический процесс движения воздуха и конденсацию воды как два независимых процесса и посчитать вклад каждого из них для воздуха на высоте, где давление достигает величины \(P_3\): \[T = T_a + \delta T, \qquad \delta T = \dfrac{\delta Q}{c_p}.\] Так как процесс выпадения дождя можно считать изобарным, то \[c_p = 3{,}5\,\dfrac{R}{M} = 1000~\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\] Таким образом: \[T = T_1 \left(\dfrac{P_3}{P_1}\right)^{1 - \frac{1}{\gamma}} + \dfrac{\lambda \,\delta m}{c_p}.\]