Шар в подвижном кубе с отверстиями

Сначала найдите горизонтальную скорость куба и шара сразу после попадания шара в отверстие, затем вертикальную составляющую скорости шара по закону сохранения энергии.

Шар и куб будут двигаться с одной скоростью всё время, пока шар находится внутри куба. В силу закона сохранения импульса горизонтальная скорость куба и шара после столкновения будет определяться как \[v_1 = v_0 \dfrac{m}{M + m}.\] Теперь шар будет иметь вертикальную составляющую скорости \(v_2\). Поскольку нет потерь на трение, используем закон сохранения энергии. До столкновения кинетическая энергия шара равна \(E_0 = \dfrac{m v_0^2}{2}\), после столкновения куб получит энергию \(E_1 = \dfrac{M v_1^2}{2}\), и \(E_2 = E_0 - E_1 = \dfrac{m (v_1^2 + v_2^2)}{2}\). Отсюда \[m v_0^2 - M v_1^2 = m (v_1^2 + v_2^2) \quad \Rightarrow \quad v_2 = v_0 \sqrt{\dfrac{M}{M + m}}.\] Время, проведённое шаром в «воздухе», равно \(t_2 = \dfrac{2 v_2}{g}\). Тогда расстояние по горизонтали, пройденное шаром в воздухе: \[x = 2 v_0 \dfrac{m}{m + M} \cdot \dfrac{1}{g} \sqrt{\dfrac{M}{M + m}} v_0 = \dfrac{2 v_0^2}{g}\sqrt{\dfrac{m^2 M}{(m + M)^3}}.\] Когда шарик возвращается в полость куба, горизонтальная проекция его скорости направлена в обратную сторону относительно горизонтальной составляющей скорости в момент первого попадания шара в куб (куб, в свою очередь, продолжает движение в том же направлении). Горизонтальная скорость после повторного взаимодействия шара с кубом определяется из закона сохранения импульса: \[v_3 = v_0 \dfrac{m - M}{m + M}.\] Тогда время возвращения шара в исходную позицию: \[t_3 = \dfrac{x}{|v_3|} = \dfrac{2 v_0}{g}\sqrt{\dfrac{m^2 M}{(m + M)^3}}\cdot\dfrac{M + m}{M - m} = \dfrac{2 v_0}{g}\sqrt{\dfrac{m^2 M}{(m + M)(M - m)^2}}.\] Поскольку шар поднимается гораздо выше, чем высота куба, временем, проведённым в кубе, можно пренебречь по сравнению с временем полёта шара. Тогда искомое время равно \(t_2 + t_3\): \[\dfrac{2 v_0}{g}\left(\sqrt{\dfrac{M}{m + M}} + \sqrt{\dfrac{m^2 M}{(m + M)(M - m)^2}}\right) = \dfrac{2 v_0}{g}\sqrt{\dfrac{M}{m + M}}\left(1 + \sqrt{\dfrac{m^2}{(M - m)^2}}\right) = \dfrac{2 v_0}{g}\sqrt{\dfrac{M}{m + M}}\cdot\dfrac{M}{M - m}.\] Вводя отношение масс, получаем итоговый ответ: \[t = \dfrac{2 v_0}{g}\sqrt{\dfrac{\beta}{1 + \beta}}\left(\dfrac{\beta}{\beta - 1}\right).\]