Замена n источников одним

Запишем систему уравнений Кирхгофа для контуров, содержащих \(\mathcal{E}_i\), \(r_i\), обозначив ток через резистор \(R\) как \(I\) и выбрав направление циркуляции токов одинаковое для всех таких контуров: \[\begin{cases} \mathcal{E}_1 = I_1 r_1 + I R \\ \mathcal{E}_2 = I_2 r_2 + I R \\ \ldots \\ \mathcal{E}_n = I_n r_n + I R \\ I = I_1 + I_2 + \ldots + I_n \end{cases}\] Из этих уравнений можно выразить ток через резистор \(R\): \[I = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i - I_i R}{r_i} \quad \Rightarrow \quad I = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i}}{1 + R \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{r_i}}.\] С другой стороны, ток через резистор \(R\) на схеме 2 определяется выражением \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R}\). Так как падения напряжений на резисторе \(R\) должны совпадать для любых значений сопротивления \(R\), можно записать тождество, верное для всех \(R\): \[R\left(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i} - \mathcal{E}\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{r_i}\right) + r \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i} - \mathcal{E} = 0.\] Так как это тождество верно при всех значениях \(R\), требуется приравнять нулю независимо свободный член и множитель перед \(R\): \[\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i} - \mathcal{E}\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{r_i} = 0 \\ r \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i} - \mathcal{E} = 0 \end{cases}\] Из системы получаем: \[\mathcal{E} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{\mathcal{E}_i}{r_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{r_i}}, \qquad r = \dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{r_i}}.\]