Чёрный ящик с тремя клеммами

Ясно, что между каждой парой клемм «чёрного ящика» должны быть включены резисторы — в противном случае невозможно будет снимать ненулевое напряжение либо с клемм \(BC\), либо с клемм \(AC\). Простейшие схемы подключения этих резисторов («треугольник» и «звезда») изображены на рисунках 3.63.1 и 3.63.2.

Вначале рассмотрим первую схему и найдём, чему должны быть равны сопротивления \(R_0\), \(R_1\) и \(R_2\). Обозначим подаваемое на клеммы напряжение через \(V = 20\) В, а снимаемое с соответствующих пар клемм напряжение через \(U_{BC} = 8\) В и \(U_{AC} = 15\) В. Тогда можно записать: \[U_{BC} = \dfrac{VR_1}{R_1 + R_2},\qquad U_{AC} = \dfrac{VR_2}{R_0 + R_2}.\] Отсюда \[R_2 = \dfrac{U_{AC}}{V - U_{AC}}R_0 = 3R_0,\qquad R_1 = \dfrac{U_{BC}}{V - U_{BC}}R_2 = 2R_0.\] Теперь найдём, чему должны быть равны сопротивления \(r_0\), \(r_1\) и \(r_2\) во второй схеме, используя те же обозначения для напряжений, что и в первом случае. Поскольку во второй схеме при подаче напряжения \(V\) на клеммы \(AB\) ток не течёт через резистор \(r_2\) и напряжение на нём не падает, а при подаче напряжения \(V\) на клеммы \(BC\) ток не течёт через резистор \(r_0\) и на нём также отсутствует падение напряжения, то \[U_{BC} = U_{OB} = \dfrac{Vr_1}{r_0 + r_1},\qquad U_{AC} = U_{OC} = \dfrac{Vr_2}{r_1 + r_2}.\] Отсюда \[r_1 = \dfrac{U_{BC}}{V - U_{BC}}r_0 = \dfrac{2}{3}r_0,\qquad r_2 = \dfrac{U_{AC}}{V - U_{AC}}r_1 = 3r_1 = 2r_0.\] Таким образом, «чёрный ящик» в простейших случаях должен состоять из трёх резисторов с сопротивлениями \(R_0\), \(R_1 = 2R_0\) и \(R_2 = 3R_0\), соединённых «треугольником» — так, как показано на рисунке 3.63.1, или из трёх резисторов с сопротивлениями \(r_0\), \(r_1 = \tfrac{2}{3}r_0\) и \(r_2 = 2r_0\), соединённых «звездой», как показано на рисунке 3.63.2. Величины сопротивлений \(R_0\) и \(r_0\) могут быть любыми, отличными от нуля.